中国剩余定理CRT

中国剩余定理 CRT

题目描述

给定$n$个同余式，$m_1,m_2...,m_n$两两互质

问，满足上述同余式最小的$x$是多少

结论

1，设$M=m_1\ast m_2...\ast m_n$,即$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i，M_i=M/m_i$
2，设$t_i$为$M_i$模$m_i$的逆元,即$t_i\ast M_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
3，那么方程组$(S)$的通解形式为$x={\sum }_{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i+kM,k\in Z$

证明

易证，在第$i$个同余方程中，对于$\forall j\in [1,n]$，当$i\ne j$时，有$a_j{M}_j{t}_j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
而当$i=j$时，有$a_i{M}_i{t}_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
因此${\sum }_{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$满足题意

例题

P3868-板子
P3868代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f; 
}
int k,a[100009],b[100009];
int ksm(int a,int b,int mod){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
int qmul(int a,int b,int mod){
	int ans=0;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}return ans;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}
int getcrt(){
	int lcm=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=k;i++) lcm*=b[i];
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int x=0,y=0;
		exgcd(lcm/b[i],b[i],x,y);
		x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
		ans=(ans+qmul(qmul(lcm/b[i],x,lcm),a[i],lcm))%lcm;
	}return (ans+lcm)%lcm;
}
signed main(){
	k=read();
	for(int i=1;i<=k;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=k;i++) b[i]=read(),a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
	printf("%lld\n",getcrt());
	return 0;
}

P1495-板子