费马小定理、欧拉定理&拓展欧拉定理

费马小定理&欧拉定理

内容

欧拉定理：当$gcd(a,m)=1$时，有$a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
费马小定理：当$m$为质数且$a$不为$m$的倍数时有$a^{m-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
由上可以看出，费马小定理其实就是欧拉定理的一种特殊情况，因为当$m$为质数的时候，$\varphi (m)=m-1$

欧拉定理的证明

首先，我们取出所有小于$m$并且与$m$互质的数:
记为：$x_1,x_2,x_3...x_{\varphi (m)}$
由于我们要得到$a^{\varphi (m)}$,所以我们将这些数都乘上$a$
记为：$p_1=a{x}_1,p_2=a{x}_2,...p_{\varphi (m)}=a{x}_{\varphi (m)}$

引理1：对于上述两种形式，任意两个$x_i$间模$m$不同余，任意两个$p_i$之间模$m$不同余
证明：
显然，此引理对于$x_i$成立
那么我们考虑$p_i$,反证法
不妨假设$i\ne j,p_i\equiv p_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
由此可得，$p_i-p_j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$,即$a(x_i-x_j)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
又gcd(a,m)=1,所以$x_i\equiv x_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$,矛盾，故得证

引理2：任意$p_i$模m的余数都与$m$互质
证明：
由条件可得，$gcd(a,m)=gcd(x_i,m)=1$
因此$gcd(a{x}_i,m)=1$,即$gcd(p_i,m)=1$
根据欧几里得算法可得，$gcd(m,p_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)=gcd(p_i,m)=1$，故得证。

那么根据引理1，2可得，$p_i$模$m$的余数与$x_i$一一对应.
因此$p_1\ast p_2\ast p_3...\ast p_{\varphi (m)}\equiv x_1\ast x_2\ast x_3...\ast x_{\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
$\Rightarrow a^{\varphi (m)}\ast x_1\ast x_2...x_{\varphi (m)})\equiv x_1\ast x_2...\ast x_{\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
又 $gcd(x_1\ast x_2\ast ...x_{\varphi (m)},m)=1$
$\Rightarrow a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

欧拉定理的推论

当$gcd(a,m)=1$时，有$a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
证明：
因为$a^b=a^{k\varphi (m)+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)}$
又由欧拉定理可得，$a^{k\varphi (m)+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)}\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
故得证

应用：大指数的运算时，可以用此推论来减少运算次数

拓展欧拉定理

内容

当$gcd(a,m)\ne 1$时，有$a^b\equiv a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)+\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$,$b\ge \varphi (m)$

证明

由于此时$gcd(a,m)\ne 1$,于是先前的方法，并不奏效，于是我们考虑$a$,$m$的共同质因子$p$
于是问题就转换为了，$p^b\equiv p^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)+\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
因为考虑除去这些质因子，那么就满足欧拉定理，此式子也必然满足。

首先我们设$m=s\ast p^r$,显然有$gcd(s,p)=1$
由于欧拉函数为积性函数，即当$gcd(a,b)=1$时,$\varphi (a\ast b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$
因此，$\varphi (s)|\varphi (m)$
又，$p^{\varphi (s)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}s)$(欧拉定理)
$\Rightarrow p^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}s)$
根据同余的性质，同余式两边同乘上$p^r$,模数也乘上$p^r$（可以手推一下，是成立的）
$\Rightarrow p^{\varphi (m)\ast r}\equiv p^r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m=s\ast p^r)$
$\Rightarrow p^b\equiv p^{b-r+r}\equiv p^{b-r+\varphi (m)+r}\equiv p^{b+\varphi (m)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(m)$
$\Rightarrow p^{(b-\varphi (m))}\equiv p^{(b-\varphi (m))+\varphi (m)}\equiv p^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(m)$
$\Rightarrow p^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (m)+\varphi (m)}\equiv p^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(m)$
故得证