P5494-线段树合并与分裂/无旋Treap

P5494

题目描述

题解

乍一眼看，平衡树啊！于是我直接敲了个FHQ上去，结果90分，至今没有调出来qwq
我们还是先讲讲FHQ的做法：
其实唯一需要讲的就是操作$1$(其他操作都跟普通平衡树差不多，也比较好推)
对于操作1，其实就是暴力拆，然后合并(因为$merge(a,b$)要求$a，b$两个子树满足$a$里的权值都小于$b$中的权值,所以不能直接合并)

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那么我们再来看看另外一种做法–线段树合并与分裂
其实主要需要讲的就是合并和分裂操作，其他都与普通的线段树操作一样（当然需要用到动态开点）

对于合并$merge$操作：
考虑合并$x，y$节点(默认新节点就是$x$，当然有的题必须新开一个节点作为合并后的节点，因题而异)
我们直接将$y$中维护的信息加到$x$上
然后递归操作：
$tr[x].l=merge(tr[x].l,tr[y].l);$
$tr[x].r=merge(tr[x].r,tr[y].r);$
然后将y节点回收(回收的意思就是把这个节点清空然后留给以后新建节点用，可以节省空间复杂度)

对于分裂$split$操作
考虑将以$k$为根节点的线段树分为两棵，按照某种标准分裂，此题是按照$num$值分裂(也就是权值的个数)，一棵仍然以$k$为根节点，另一棵以$y$为根节点
显然$y$原来是不存在的，因此我们对他新建，如果$ls.num<num$那么左子树仍然是$k$的，递归右子树下去分裂即可，否则右子树一定是$y$的，因此我们先给$y$的右子树赋值，再递归左子树下去分裂即可，代码如下：

void split(int k,int &y,int num){
	y=build();$
	if(num>tr[tr[k].l].num) split(tr[k].r,tr[y].r,num-tr[tr[k].l].num);
	else swap(tr[k].r,tr[y].r);
	if(num<tr[tr[k].l].num) split(tr[k].l,tr[y].l,num);
	tr[y].num=tr[k].num-num,tr[k].num=num;
}

代码 无旋Treap

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define M 700009
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f; 
}
int n,m,tot,rt[M],cnt=1;
const int mod=1e9+7;
struct tree{int l,r,num,siz,pos,val;}tr[M];
void pushup(int k){tr[k].siz=tr[tr[k].l].siz+tr[tr[k].r].siz+tr[k].num;}
int build(int val,int num){
	tr[++tot].val=val,tr[tot].siz=tr[tot].num=num,tr[tot].pos=rand();
	return tot;	
}
int merge(int x,int y){
	int p;
	if(!x||!y) return x+y;
	if(tr[x].pos<tr[y].pos) p=x,tr[p].r=merge(tr[p].r,y); 
	else p=y,tr[p].l=merge(x,tr[p].l);
	pushup(p);return p;
} 
void split(int x,int &a,int &b,int val){
	if(!x){a=b=0;return;}
	if(tr[x].val<=val) a=x,split(tr[a].r,tr[a].r,b,val);
	else b=x,split(tr[b].l,a,tr[b].l,val);
	pushup(x);
}
int kth(int k,int val){
	if(val>tr[k].siz) return -1; 
	if(tr[tr[k].l].siz+tr[k].num<val) return kth(tr[k].r,val-tr[tr[k].l].siz-tr[k].num);
	if(tr[tr[k].l].siz>=val) return kth(tr[k].l,val);
	return tr[k].val;
}
void insert(int &k,int val,int num){
	int x,y,z;
	split(k,x,y,val);
	split(x,x,z,val-1);
	if(tr[z].val==val) tr[z].num+=num,tr[z].siz+=num;
	else z=build(val,num);
	k=merge(merge(x,z),y); 
}
void dfs(int k,int &y){
	if(tr[k].l) dfs(tr[k].l,y);
	insert(y,tr[k].val,tr[k].num);
	if(tr[k].r) dfs(tr[k].r,y);
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();
		rt[1]=merge(rt[1],build(i,x));
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int opt=read(),p=read(),x,y,z,w,v;
		if(opt==0) x=read(),y=read(),split(rt[p],z,rt[++cnt],x-1),split(rt[cnt],rt[cnt],w,y),rt[p]=merge(z,w);
		if(opt==1) x=read(),dfs(rt[x],rt[p]);
		if(opt==2) x=read(),y=read(),insert(rt[p],y,x);
		if(opt==3) x=read(),y=read(),split(rt[p],z,w,x-1),split(w,w,v,y),printf("%lld\n",tr[w].siz),rt[p]=merge(z,merge(w,v));
		if(opt==4) x=read(),printf("%lld\n",kth(rt[p],x));
	}return 0;
} 

代码 线段树合并与分裂

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define M 100009
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
int n,m,num1,tot,cnt=1,rec[M],rt[M];
struct tree{int l,r,num;}tr[M*32];
int build(){
	if(num1) return rec[num1--];
	else return ++tot;
}
void recyc(int x){rec[++num1]=x,tr[x].l=tr[x].r=tr[x].num=0;}
void update(int &k,int l,int r,int pos,int val){
	if(!k) k=build();tr[k].num+=val;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid) update(tr[k].l,l,mid,pos,val);
	else update(tr[k].r,mid+1,r,pos,val);
}
int query(int k,int l,int r,int ql,int qr){
	if(l>=ql&&r<=qr) return tr[k].num;
	int mid=(l+r)>>1,ret=0;
	if(ql<=mid) ret+=query(tr[k].l,l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) ret+=query(tr[k].r,mid+1,r,ql,qr);
	return ret; 
}
void split(int k,int &y,int num){
	y=build();
	if(num>tr[tr[k].l].num) split(tr[k].r,tr[y].r,num-tr[tr[k].l].num);
	else swap(tr[k].r,tr[y].r);
	if(num<tr[tr[k].l].num) split(tr[k].l,tr[y].l,num);
	tr[y].num=tr[k].num-num,tr[k].num=num;
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y) return x+y;
	tr[x].num+=tr[y].num;
	tr[x].l=merge(tr[x].l,tr[y].l);
	tr[x].r=merge(tr[x].r,tr[y].r);
	recyc(y);return x;
}
int kth(int k,int l,int r,int num){
	if(tr[k].num<num) return -1;
	if(l==r) return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(tr[tr[k].l].num<num) return kth(tr[k].r,mid+1,r,num-tr[tr[k].l].num);
	else return kth(tr[k].l,l,mid,num);
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();
		update(rt[1],1,n,i,x);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int opt=read(),p=read(),x,y,z,w,v;
		if(opt==0) x=read(),y=read(),z=query(rt[p],1,n,1,y),w=query(rt[p],1,n,x,y),split(rt[p],rt[++cnt],z-w),split(rt[cnt],v,w),rt[p]=merge(rt[p],v);
		if(opt==1) x=read(),rt[p]=merge(rt[p],rt[x]);
		if(opt==2) x=read(),y=read(),update(rt[p],1,n,y,x);
		if(opt==3) x=read(),y=read(),printf("%lld\n",query(rt[p],1,n,x,y));
		if(opt==4) x=read(),printf("%lld\n",kth(rt[p],1,n,x));
	}return 0;
} 

学习笔记