树形dp练习

树形dp练习

题型1：树形背包 P2014

题解

类似于有依赖的背包问题，不过依赖关系更为复杂
我们将依赖关系化为一棵树（本题需要建一个虚拟节点0），然后递归求解子树，然后再做dp

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 509
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
int tot,f[M][M],nxt[M],to[M],first[M],a[M],n,m;
void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
}
void dfs(int u){
	f[u][0]=0;
	for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		dfs(v);
		for(int j=m;j>=0;j--)
			for(int k=j;k>=0;k--)//这种状态转移方程在树形背包中很常见
				f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]);
	}if(u) for(int i=m;i>=1;i--) f[u][i]=f[u][i-1]+a[u];
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();a[i]=read();
		add(x,i);
	}dfs(0);printf("%d\n",f[0][m]);
	return 0;
}

题型2：二次扫描与换根法 POJ3585

题解

显然，最为暴力的方法就是枚举每一个点作为源点的情况，然后再对其进行树形dp，但显然时间复杂度爆炸，因此我们考虑，其实我们暴力的方法中重复求解了很多东西。
因此我们只需要两次树形dp，首先随便找个点作为源点，然后做一次树形dp，然后再从这点树形dp一次，根据上次求出的结果来推出每个作为源点的答案。详细代码实现如下。

代码

#include  <cmath>//换根法 
#include  <cstdio>
#include  <climits>
#include  <cstring>
#include  <cstdlib>
#include  <iostream>
#include  <algorithm>
#define M 1000009
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f; 
}
int tot,nxt[M],first[M],to[M],w[M],g[M],f[M],rd[M],n,ans,t;
void add(int x,int y,int z){
	nxt[++tot]=first[x];
	first[x]=tot;
	to[tot]=y;
	w[tot]=z;
}
void dfs1(int u,int fa){
	for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(v==fa) continue;
		dfs1(v,u);
		if(rd[v]==1) g[u]+=w[i];
		else g[u]+=min(g[v],w[i]);
	}
}
void dfs2(int u,int fa){
	for(int i=first[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i];
		if(v==fa) continue;
		if(rd[u]==1) f[v]=g[v]+w[i];
		else f[v]=g[v]+min(f[u]-min(g[v],w[i]),w[i]);
		ans=max(f[v],ans),dfs2(v,u);
	}
}
int main(){
	t=read();
	while(t--){
		n=read();ans=tot=0;
		memset(rd,0,sizeof(rd));
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(g,0,sizeof(g));
		memset(first,0,sizeof(first));
		for(int i=1;i<n;i++){
			int x=read(),y=read(),z=read();
			add(x,y,z),add(y,x,z),rd[x]++,rd[y]++;
		}dfs1(1,0),ans=f[1]=g[1],dfs2(1,0);
		printf("%d\n",ans);
	}return 0;
} 

小结

换根法更多是一种思想，如何根据第一次的结果推导出其他情况，这也要因题而异