Knapsack Problem

原创于 2022-11-05 21:35:16 发布 · 600 阅读

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#算法 #贪心算法 #动态规划 #c++

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本文详细介绍了三种背包问题（01背包、完全背包、分数背包）的动态规划解决方案，并提供了具体的算法实现示例。针对每种背包问题的特点，给出了状态转移方程及优化技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

背包九讲

0-1 knapsack problem

01背包-牛客网

已知一个背包最多能容纳体积之和为V的物品，现有 n 个物品，第 i 个物品的体积为 vi , 重量为 wi，求当前背包最多能装多大重量的物品？

使用动态规划来解决01背包问题：

首先定义dp数组：dp[i][j] := 0-i号物品面对容量为j的背包所能获得的最大重量

状态转移方程：

$\begin{cases} dp[i-1][j],\quad 容量不足，不放入物品i\\ max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][ j - v[i]] + w[i]), \quad 考虑拿这件物品能否获得更大重量 \end{cases}$

class Solution {
public:
    int knapsack(int V, int n, vector<vector<int> >& vw) {
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(V + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= V; ++j) {
                if (j < vw[i - 1][0]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - vw[i - 1][0]] + vw[i - 1][1]);
                }
            }
        }
        return dp[n][V];
    }
};

由于dp问题具有无后效性，可以采用滚动数组的方式节省内存，此时状态转移方程化为：

if j >= v[i]:
	dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);

Charm Bracelet：定义一维的dp数组，每次从后向前刷新dp数组：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<int> W(N, 0);
    vector<int> D(N, 0);
    vector<int> dp(M + 1, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> W[i] >> D[i];
    }
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = M; j >= 1; --j) {
            if (j >= W[i]) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - W[i]] + D[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[M] << endl;
    return 0;
}

full knapsack problem

完全背包-牛客网

你有一个背包，最多能容纳的体积是V。现在有n种物品，每种物品有任意多个，第 i 种物品的体积为vi，价值为wi，求这个背包至多能装多大价值的物品？

完全背包的状态转移方程和01背包极其相似：

$\begin{cases} dp[i-1][j],\quad 容量不足，不放入物品i\\ max(dp[i - 1][j], dp[i][ j - v[i]] + w[i]), \quad 考虑拿这件物品能否获得更大重量 \end{cases}$
而且，考虑使用滚动数组压缩空间，完全背包和01背包的状态转移方程是一样的。区别在于dp数组的遍历方式：完全背包问题必须顺序推导dp数组，而01背包采用逆序推导dp数组

if j >= v[i]:
	dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);

class Solution {
  public:
    vector<int> knapsack(int v, int n, vector<vector<int> >& nums) {
        // write code here
        vector<int> res;
        vector<int> dp(v + 1, 0);
        vector<int> pack(v + 1, -255);
        pack[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= v; ++j) {
                if (j >= nums[i][0]){
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i][0]] + nums[i][1]);
                    pack[j] = max(pack[j], pack[j - nums[i][0]] + nums[i][1]);	//只考虑能从0一步步跳到v的w
                }
            }
        }
        res.push_back(dp[v]);
        if (pack[v] > 0) {
            res.push_back(pack[v]);
        } else {
            res.push_back(0);
        }
        return res;
    }
};

Piggy-Bank

fractional knapsack problem

与上面的两种背包问题不同，分数背包问题（物品可以被任意分割）比较简单，可以用贪心算法解决：每次都选择单位价值最大的物品装入背包，如果未满，则选择下一个价值次大的物品装入背包

圣诞老人的礼物-百练

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN (100+10)

struct Box {
	int v;
	int w;
	double density;
	Box() {}
	Box(int vv, int ww) :v(vv), w(ww), density(double(v) / w) {}
	bool operator<(const Box& b) {
		return density < b.density;
	}
};

int n, weigth;
double total_w = 0;
double total_v = 0;
Box boxes[MAXN];

int main() {
	cin >> n >> weigth;
	int v, w;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> v >> w;
		boxes[i] = Box(v, w);
	}
	sort(boxes, boxes + n);
	for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
		if (total_w + boxes[i].w < weigth) {
			total_w += boxes[i].w;
			total_v += boxes[i].v;
		}
		else {
			total_v += boxes[i].density * (weigth - total_w);
			total_w = weigth;
		}
	}
	printf("%.1f\n", total_v);
	return 0;
}