旋转矩阵的推导过程

刚体变换

定义

一个映射g:${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$如果满足一下两个特性，则是刚体变换
1. 长度保持不变：$\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert$, 所有$p,q\in {\mathbb{R}}^3$
2. 叉乘保持不变：$g_{\ast }(v\times w)=g_{\ast }(v)\times g_{\ast }(w)$，所有向量$v,w\in {\mathbb{R}}^3$

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旋转矩阵

A坐标系

$X_A=[10{]}^T$
$Y_A=[01{]}^T$

在A坐标系下的B坐标系

$X_B=cos\theta \Vert X_A\Vert X_A+sin\theta \Vert X_A\Vert Y_A=[cos\theta 00]$