洛谷 UVA12983 题解-优快云博客

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本文介绍了一种使用动态规划和树状数组的方法来高效地计算在一个长度为nnn的数字序列中长度为mmm的严格上升子序列的数量。通过离散化数组和维护多个树状数组，将时间复杂度降低到O(Tnmlog⁡n)，适用于大规模数据。

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题目大意是在一个长度为 $n$ 的数字序列中找到长度为 $m$ 的严格上升子序列的个数。

注意，要找的是子序列的个数，并不是子串的个数。

思路

动态规划 $+$ 树状数组维护。

我们设 $f (i, j)$ 表示以 $i$ 结尾，长度为 $j$ 的严格上升子序列数，则：

当 $j$ 为 $1$ 时， $f (i, j) = 1$
当 $j$ 不为 $1$ 时， $f(k,j−1)=∑k=1,a[i]>a[k]i−1f(k,j-1)=\sum_{k=1,a[i]>a[k]}^{i-1}$

所以答案即为 $∑i=1nf(i,m)\sum_{i=1}^nf(i,m)$

如果我们直接暴力枚举，将会有 $O(n^3)$ 的时间复杂度，无法通过此题，那么，我们就需要树状数组来维护了。

我们可以先将数组离散化，然后再建 $m$ 个树状数组，分别维护长度为 $1$ 至 $m$ 的严格上升子序列的方案数，用来优化时间复杂度，此时的时间复杂度为 $\log n)$ 。

看数据范围，有些变量还是需要开 long long 的，具体的实现看代码。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 100010
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int n,m;
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);//求出lowbit,即最低位 
}
int T;
long long f[1010][1010],c[1010][1010];//开long long保险 
struct node{
	int a;
	int b;
}a[MAXN];
bool cmp(node x,node y)
{
	if(x.a!=y.a)
		return x.a<y.a;//排序，便于离散化 
	return x.b>y.b;
}
inline void put(int x,int y,long long z)
{
	//更新c数组 
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
		c[x][y]=(c[x][y]+z)%MOD;
	return;
}
long long get(int x,int y)
{
	//询问第x位之前长度为y的严格上升子序列的总数
	int S=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))
		S=(c[x][y]+S)%MOD;//随时取模 
	return S;
}
int t;
inline void work()
{
	t++;
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(c,0,sizeof(c));//多组数据，别忘了随时清空 
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i].a),a[i].b=i;//离散化 
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(j==1)
				f[i][j]=1;
			////以i结尾,长度为1的严格上升子序列就只有它本身,所以方案为1 
			else
				f[i][j]=get(a[i].b-1,j-1);
			//比a[i]小,也就是k,且长度为j-1,就符合转移条件 
			put(a[i].b,j,f[i][j]);
		}
	long long ans=0;
	for(int i=m;i<=n;i++)//小优化,m之前没有长为m的序列 
		ans=(ans+f[i][m])%MOD;//累加方案 
	printf("Case #%d: %lld\n",t,ans);	
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);//T组数据 
	while(T--)
		work();
	return 0;
	//完结撒花~~ 
}