时间复杂度

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。 ——百度

常见的时间复杂度有：

• 常数阶 $O(1)$
• 对数阶 $O(logn)$
• 线性阶 $O(n)$
• 线性对数阶 $O(nlogn)$
• 平方阶 $O(n^2)$
• 立方阶 $O(n^3)$
• 指数阶 $O(2^n)$

$......$

随着问题规模$n$的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率将越低。

下面具体说一下这几个复杂度：

• 常数阶 $O(1)$

只要没有循环结构等复杂结构，只有简单的计算，那么这个程序的时间复杂度即为$O(1)$。

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int a=1,b=2,c;
	c=a+b;
	return 0;
}

那么无论这类代码有多长，即使有几万行，都可以用$O(1)$来表示它的时间复杂度。

• 对数阶 $O(logn)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=1,n=5;
	while(k<n){
		k*=2;
	}
	return 0;
}										

设循环次数为$x$，则$2^x=n$，推出$x=logn$ ，所以时间复杂度为$O(nlogn)$。

• 线性阶$O(n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=10;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		k=i+1;
		k+=1;
	}
	return 0;
}

$for$循环里面的代码会执行n遍，它消耗的时间是随着n的变化而变化的， 所以这类代码都的时间复杂度为$O(n)$。

• 线性对数阶 $O(nlogn)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k,n=5;
	for(int i=1;i<n;i++){
		k=1;
		while(k<n){
			k*=2;
		}
	}
	return 0;
}	

在时间复杂度为 $O(logn)$的代码基础上循环$n$遍，得到的代码的时间复杂度即为$O(nlogn)$。

• 平方阶$O(n^2)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=5;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			k++;
		}
	}
	return 0;
}	

$O(n^2)$ 表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出二次增长。

• 立方阶$O(n^3)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=5;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			for(int l=1;l<=j;l++)
			k++;
		}
	}
	return 0;
}	

$O(n^3)$ 表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出三次增长。

• 指数阶 $O(2^n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int f(int n)
{
	if(n==0) return 0;
	if(n==1) return 1;
	return f(n-1)+f(n-2);
}
int main()
{
	int k;
	scanf("%d",&k);
	cout<<f(k);
	return 0;
}	

$O(2^n)$表示一个算法的性能将会随着输入数据的每次增加而增大两倍，斐波那契数列就是个典型。

例题

1. 设某算法的计算时间表示为递推关系式$T(n)=2T(n/2)+n$且$n$为正整数，$T(0)=1$， 则该算法的时间复杂度为（）。
   A.$O(n)$ B.$O(n^2)$ C.$O(nlogn)$ D.$O(logn)$

分析：

主定理：$T(n)=2T(n/2)+n$可得到$T(n)=O(nlogn)$。
故选$C$。

2. 具有$n$个顶点,$e$ 条边的图采用邻接表存储结构，进行深度优先遍历和广度优先遍历运算的时间复杂度均为（）。
   A.$O(n^2)$ B.$O(e^2)$ C.$O(ne)$ D.$O(n+e)$

分析：
邻接表里面每个边被储存两次，复杂度是是$n+2e$
，但在大$O$表示法中$O(n+2e)$通常应表示为$O(n+e)$。

故选$D$。

总结

时间复杂度是评价一个算法好坏的标准，在考试中遇到的话，可以推一下运算了几次，然后取最高项即可。

完结撒花~~