时间复杂度

最新推荐文章于 2024-08-27 00:04:19 发布

Da_un

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分类专栏： c++ 初赛文章标签：算法

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在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。 ——百度

常见的时间复杂度有：

常数阶 $O (1)$
对数阶 $O (l o g n)$
线性阶 $O (n)$
线性对数阶 $O (n l o g n)$
平方阶 $O(n^2)$
立方阶 $O(n^3)$
指数阶 $O(2^n)$

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随着问题规模 $n$ 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率将越低。

下面具体说一下这几个复杂度：

常数阶 $O (1)$

只要没有循环结构等复杂结构，只有简单的计算，那么这个程序的时间复杂度即为 $O (1)$ 。

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int a=1,b=2,c;
	c=a+b;
	return 0;
}

那么无论这类代码有多长，即使有几万行，都可以用 $O (1)$ 来表示它的时间复杂度。

对数阶 $O (l o g n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=1,n=5;
	while(k<n){
		k*=2;
	}
	return 0;
}

设循环次数为 $x$ ，则 $2^x=n$ ，推出 $x = l o g n$ ，所以时间复杂度为 $O (n l o g n)$ 。

线性阶 $O (n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=10;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		k=i+1;
		k+=1;
	}
	return 0;
}

$f o r$ 循环里面的代码会执行n遍，它消耗的时间是随着n的变化而变化的，所以这类代码都的时间复杂度为 $O (n)$ 。

线性对数阶 $O (n l o g n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k,n=5;
	for(int i=1;i<n;i++){
		k=1;
		while(k<n){
			k*=2;
		}
	}
	return 0;
}

在时间复杂度为 $O (l o g n)$ 的代码基础上循环 $n$ 遍，得到的代码的时间复杂度即为 $O (n l o g n)$ 。

平方阶 $O(n^2)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=5;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			k++;
		}
	}
	return 0;
}

$O(n^2)$ 表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出二次增长。

立方阶 $O(n^3)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int main()
{
	int k=0,n=5;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			for(int l=1;l<=j;l++)
			k++;
		}
	}
	return 0;
}

$O(n^3)$ 表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出三次增长。

指数阶 $O(2^n)$

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
int f(int n)
{
	if(n==0) return 0;
	if(n==1) return 1;
	return f(n-1)+f(n-2);
}
int main()
{
	int k;
	scanf("%d",&k);
	cout<<f(k);
	return 0;
}