Math Reference Notes: 逆序数

逆序数（inversion number）是描述排列中元素相对顺序的一个重要量度。它用来衡量排列中元素的“乱序程度”，即大元素出现在小元素前面的次数。逆序数在很多数学问题中扮演着重要角色，特别是在排列的奇偶性和排序算法的分析中。

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1. 逆序数的定义

对于一个排列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，如果 $i<j$ 且 $a_i>a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 是一个逆序对。逆序数就是排列中所有逆序对的个数。

逆序对的解释：

• 逆序对是指在排列中较大的数字出现在较小数字前面的位置。
• 如果 $a_i$ 和 $a_j$ 是逆序对，那么它们满足 $i<j$ 且 $a_i>a_j$。

2. 逆序数的计算方法

计算排列的逆序数就是计算排列中所有逆序对的个数。一般的做法是：

1. 从排列的第一个元素 $a_1$ 开始，遍历排列中的每一个元素 $a_i$。
2. 对于每个 $a_i$，遍历它后面所有的元素 $a_j$，其中 $j>i$。
3. 如果 $a_i>a_j$，那么 $(a_i,a_j)$ 就是一个逆序对，逆序数增加 1。

计算逆序数的步骤：

1. 遍历每个元素 $a_i$。
2. 对于每个 $a_i$，遍历它后面的所有元素 $a_j$，判断是否有 $a_i>a_j$。
3. 计数所有满足 $a_i>a_j$ 的情况，得到逆序对的个数。
4. 逆序数就是这些逆序对的总数。

3. 逆序数的示例

• 示例 1：计算逆序数

  假设有排列 $3,1,2$，我们计算它的逆序数。

  • 比较 $3$ 和 $1$，因为 $3>1$，所以 $(3,1)$ 是一个逆序对。
  • 比较 $3$ 和 $2$，因为 $3>2$，所以 $(3,2)$ 是一个逆序对。
  • 比较 $1$ 和 $2$，因为 $1<2$，所以它们不是逆序对。

  总的逆序数为 2（逆序对是 $(3,1)$ 和 $(3, 2) \））。

• 示例 2：逆序数计算更复杂的排列

  考虑排列 $245136987$。我们要计算它的逆序数。

  1. 第一个元素 2：它后面有 $4,5,1,3,6,9,8,7$。

     • 逆序对：2 和 1，因为 $2>1$。
     • 逆序数增加 1。

  2. 第二个元素 4：它后面有 $5,1,3,6,9,8,7$。

     • 逆序对：4 和 1，4 和 3（$4>1$，$4>3$）。
     • 逆序数增加 2。

  3. 第三个元素 5：它后面有 $1,3,6,9,8,7$。

     • 逆序对：5 和 1，5 和 3（$5>1$，$5>3$）。
     • 逆序数增加 2。

  4. 第四个元素 1：它后面有 $3,6,9,8,7$，没有逆序对。

     • 逆序数增加 0。

  5. 第五个元素 3：它后面有 $6,9,8,7$，没有逆序对。

     • 逆序数增加 0。

  6. 第六个元素 6：它后面有 $9,8,7$。

     • 逆序对：6 和 8，6 和 7（$6>8$，$6>7$）。
     • 逆序数增加 0。

  7. 第七个元素 9：它后面有 $8,7$。

     • 逆序对：9 和 8，9 和 7（$9>8$，$9>7$）。
     • 逆序数增加 2。

  8. 第八个元素 8：它后面有 $7$。

     • 逆序对：8 和 7（$8>7$）。
     • 逆序数增加 1。

  9. 第九个元素 7：没有比它小的元素。

     • 逆序数增加 0。

  最终的逆序数是：
  $$1+2+2+0+0+0+2+1+0=8$$
  因此，排列 $245136987$ 的逆序数是 8。

4. 逆序数与排列的奇偶性

逆序数与排列的奇偶性密切相关。排列的奇偶性是通过排列中的逆序数来定义的：

• 偶排列：如果排列的逆序数是偶数，那么该排列就是偶排列。
• 奇排列：如果排列的逆序数是奇数，那么该排列就是奇排列。

示例：
假设排列 $3,1,2$，其逆序数为 2（偶数），所以它是偶排列。

5. 逆序数在排序算法中的应用

逆序数在很多排序算法中扮演着重要角色，尤其是在冒泡排序和选择排序等交换排序算法中。它在排序的复杂度分析中也起到关键作用。

• 冒泡排序与逆序数：

  在冒泡排序中，逆序数表示了需要交换的次数。在每一趟排序中，两个相邻的元素会交换位置，如果它们的顺序不正确（即形成逆序对），那么就需要交换。通过计算排列的逆序数，可以知道该排列的排序需要多少交换次数。

• 选择排序与逆序数：

  选择排序通过每一趟从未排序部分选择最小的元素，依次将其交换到已排序部分。在最坏情况下，选择排序的交换次数也与排列中的逆序数相关。

6. 计算逆序数的高级算法

对于较大的排列，直接使用暴力法计算逆序数（即遍历每一对元素）可能非常慢，尤其是当排列的规模较大时。我们可以使用更高效的算法来计算逆序数。

一种高效的计算逆序数的方法是使用归并排序。在归并排序的过程中，我们不仅完成了数组的排序，还可以统计逆序对。

归并排序计算逆序数的原理：

在归并排序中，我们会将数组分成两个子数组，对每个子数组进行递归排序。在合并阶段，若发现一个元素 $a_i$ 在右子数组中的元素 $a_j$ 之前被合并且 $a_i>a_j$，则说明 $a_i$ 和 $a_j$ 之间存在逆序对。

这种方法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，比暴力法的 $O(n^2)$ 要高效得多。