蓝桥杯备考随手记: 求质数

1. 质数的定义

质数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他正因数的数。换句话说，质数只能被1和自身整除。

2. 如何求质数

求质数的常用方法是通过试除法以及埃氏筛法。

1. 试除法：对于一个大于1的数n，从2开始逐个除以2、3、4、5…直到n的平方根，看是否能整除。如果在这个范围内找不到能整除的数，则n是质数。

2. 埃氏筛法：首先，列出从2开始的所有自然数，并将它们标记为质数。然后，从2开始，将它的倍数标记为合数（即非质数）。继续对下一个未标记的数重复这个过程，直到所有的数都被处理。剩下未被标记的数即为质数。
   例如，要找出小于等于30的质数：

   • 2是质数，将2的倍数（4、6、8、10...）标记为合数。
   • 下一个未标记的数是3，因此3是质数，将3的倍数（6、9、12、15...）标记为合数。
   • 下一个未标记的数是5，因此5是质数，将5的倍数（10、15、20、25...）标记为合数。
   • 以此类推，直到30，最后得到的未标记的数是质数（除了0和1）。

通过这两种方法，可以找到任意范围内的质数。

3. 代码实现

以下是使用Java代码分别示范试除法和埃氏筛法求质数的示例：

1. 试除法：

   public class PrimeNumberTrialDivision {
       // 判断一个数是否为素数
       public static boolean isPrime(int num) {
           if (num <= 1) { // 如果数小于等于1，则不是素数
               return false;
           }
           
           for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) { // 从2开始逐个试除，直到sqrt(num)
               if (num % i == 0) { // 如果num能被i整除，则不是素数
                   return false;
               }
           }
           
           return true; // 如果没有能整除num的数，则num是素数
       }
       
       public static void main(String[] args) {
           int n = 100; // 设定范围为1到100
           
           System.out.println("使用试除法方法找出从1到" + n + "的素数:");
           for (int i = 1; i <= n; i++) {
               if (isPrime(i)) { // 判断每个数是否为素数
                   System.out.print(i + " "); // 输出素数
               }
           }
       }
   }
   

2. 埃氏筛法：

   import java.util.Arrays;
   
   public class PrimeNumberSieveOfEratosthenes {
       // 使用埃氏筛法找出从1到n的素数并打印
       public static void printPrimes(int n) {
           boolean[] isPrime = new boolean[n+1]; // 创建一个布尔数组，用于标记是否为素数
           Arrays.fill(isPrime, true); // 初始化所有数为素数
            // 将0和1标记为非质数
           isPrime[0] = isPrime[1] = false;
   
           for (int i = 2; i * i <= n; i++) { // 从2开始遍历到根号n
               if (isPrime[i]) { // 如果当前数是素数
                   for (int j = i * i; j <= n; j += i) { // 将当前素数的倍数标记为非素数
                       isPrime[j] = false;
                   }
               }
           }
   
           System.out.println("使用埃氏筛法找出从1到" + n + "的素数:");
           for (int i = 2; i <= n; i++) {
               if (isPrime[i]) { // 输出素数
                   System.out.print(i + " ");
               }
           }
       }
   
       public static void main(String[] args) {
           int n = 100; // 设定范围为1到100
           printPrimes(n);
       }
   }
   

这两种方法分别使用不同的算法来求质数，试除法逐个判断每个数是否能被其他数整除，而埃氏筛法则通过排除所有的非质数来筛选出质数。在实际应用中，埃氏筛法通常比试除法更高效。