蓝桥杯备考随手记: 求质数

本文介绍了质数的定义,探讨了试除法和埃氏筛法两种求质数的方法,并提供了Java代码示例。埃氏筛法通常比试除法更高效,适用于实际应用。

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1. 质数的定义

质数是指大于1的自然数,除了1和它本身之外,没有其他正因数的数。换句话说,质数只能被1和自身整除。

2. 如何求质数

求质数的常用方法是通过试除法以及埃氏筛法。

  1. 试除法:对于一个大于1的数n,从2开始逐个除以2、3、4、5…直到n的平方根,看是否能整除。如果在这个范围内找不到能整除的数,则n是质数。

  2. 埃氏筛法:首先,列出从2开始的所有自然数,并将它们标记为质数。然后,从2开始,将它的倍数标记为合数(即非质数)。继续对下一个未标记的数重复这个过程,直到所有的数都被处理。剩下未被标记的数即为质数。
    例如,要找出小于等于30的质数:

    • 2是质数,将2的倍数(4、6、8、10...)标记为合数。
    • 下一个未标记的数是3,因此3是质数,将3的倍数(6、9、12、15...)标记为合数。
    • 下一个未标记的数是5,因此5是质数,将5的倍数(10、15、20、25...)标记为合数。
    • 以此类推,直到30,最后得到的未标记的数是质数(除了0和1)。

通过这两种方法,可以找到任意范围内的质数。

3. 代码实现

以下是使用Java代码分别示范试除法和埃氏筛法求质数的示例:

  1. 试除法:
    public class PrimeNumberTrialDivision {
        // 判断一个数是否为素数
        public static boolean isPrime(int num) {
            if (num <= 1) { // 如果数小于等于1,则不是素数
                return false;
            }
            
            for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) { // 从2开始逐个试除,直到sqrt(num)
                if (num % i == 0) { // 如果num能被i整除,则不是素数
                    return false;
                }
            }
            
            return true; // 如果没有能整除num的数,则num是素数
        }
        
        public static void main(String[] args) {
            int n = 100; // 设定范围为1到100
            
            System.out.println("使用试除法方法找出从1到" + n + "的素数:");
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (isPrime(i)) { // 判断每个数是否为素数
                    System.out.print(i + " "); // 输出素数
                }
            }
        }
    }
    
  2. 埃氏筛法:
    import java.util.Arrays;
    
    public class PrimeNumberSieveOfEratosthenes {
        // 使用埃氏筛法找出从1到n的素数并打印
        public static void printPrimes(int n) {
            boolean[] isPrime = new boolean[n+1]; // 创建一个布尔数组,用于标记是否为素数
            Arrays.fill(isPrime, true); // 初始化所有数为素数
             // 将0和1标记为非质数
            isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    
            for (int i = 2; i * i <= n; i++) { // 从2开始遍历到根号n
                if (isPrime[i]) { // 如果当前数是素数
                    for (int j = i * i; j <= n; j += i) { // 将当前素数的倍数标记为非素数
                        isPrime[j] = false;
                    }
                }
            }
    
            System.out.println("使用埃氏筛法找出从1到" + n + "的素数:");
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                if (isPrime[i]) { // 输出素数
                    System.out.print(i + " ");
                }
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            int n = 100; // 设定范围为1到100
            printPrimes(n);
        }
    }
    

这两种方法分别使用不同的算法来求质数,试除法逐个判断每个数是否能被其他数整除,而埃氏筛法则通过排除所有的非质数来筛选出质数。在实际应用中,埃氏筛法通常比试除法更高效。

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