1. 质数的定义
质数是指大于1的自然数,除了1和它本身之外,没有其他正因数的数。换句话说,质数只能被1和自身整除。
2. 如何求质数
求质数的常用方法是通过试除法以及埃氏筛法。
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试除法:对于一个大于1的数n,从2开始逐个除以2、3、4、5…直到n的平方根,看是否能整除。如果在这个范围内找不到能整除的数,则n是质数。
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埃氏筛法:首先,列出从2开始的所有自然数,并将它们标记为质数。然后,从2开始,将它的倍数标记为合数(即非质数)。继续对下一个未标记的数重复这个过程,直到所有的数都被处理。剩下未被标记的数即为质数。
例如,要找出小于等于30的质数:- 2是质数,将2的倍数(4、6、8、10...)标记为合数。
- 下一个未标记的数是3,因此3是质数,将3的倍数(6、9、12、15...)标记为合数。
- 下一个未标记的数是5,因此5是质数,将5的倍数(10、15、20、25...)标记为合数。
- 以此类推,直到30,最后得到的未标记的数是质数(除了0和1)。
通过这两种方法,可以找到任意范围内的质数。
3. 代码实现
以下是使用Java代码分别示范试除法和埃氏筛法求质数的示例:
- 试除法:
public class PrimeNumberTrialDivision { // 判断一个数是否为素数 public static boolean isPrime(int num) { if (num <= 1) { // 如果数小于等于1,则不是素数 return false; } for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) { // 从2开始逐个试除,直到sqrt(num) if (num % i == 0) { // 如果num能被i整除,则不是素数 return false; } } return true; // 如果没有能整除num的数,则num是素数 } public static void main(String[] args) { int n = 100; // 设定范围为1到100 System.out.println("使用试除法方法找出从1到" + n + "的素数:"); for (int i = 1; i <= n; i++) { if (isPrime(i)) { // 判断每个数是否为素数 System.out.print(i + " "); // 输出素数 } } } }
- 埃氏筛法:
import java.util.Arrays; public class PrimeNumberSieveOfEratosthenes { // 使用埃氏筛法找出从1到n的素数并打印 public static void printPrimes(int n) { boolean[] isPrime = new boolean[n+1]; // 创建一个布尔数组,用于标记是否为素数 Arrays.fill(isPrime, true); // 初始化所有数为素数 // 将0和1标记为非质数 isPrime[0] = isPrime[1] = false; for (int i = 2; i * i <= n; i++) { // 从2开始遍历到根号n if (isPrime[i]) { // 如果当前数是素数 for (int j = i * i; j <= n; j += i) { // 将当前素数的倍数标记为非素数 isPrime[j] = false; } } } System.out.println("使用埃氏筛法找出从1到" + n + "的素数:"); for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isPrime[i]) { // 输出素数 System.out.print(i + " "); } } } public static void main(String[] args) { int n = 100; // 设定范围为1到100 printPrimes(n); } }
这两种方法分别使用不同的算法来求质数,试除法逐个判断每个数是否能被其他数整除,而埃氏筛法则通过排除所有的非质数来筛选出质数。在实际应用中,埃氏筛法通常比试除法更高效。