文章目录
一、什么是图形学？
Computer graphics: the use of computers to synthesize and manipulate visual information.
- 图形学的应用领域和应用场景：游戏、电影、动画、设计（如基于光照等的外观设计）、可视化（医学等领域）、虚拟现实/增强现实、数码插画（digital illustration）、仿真模拟（如雾、沙、黑洞）、GUI设计、 字体设计（Typography）等。
- 图形学的研究内容与挑战：研究如何创建一个贴近真实的虚拟世界，需要对实体世界的各方各面具有理解；研究如何把这个世界在设备上显示出来，需要新的计算方法、显示方法。
- 从技术上来看，图形学的内容包括：投影、曲线、曲面的数学；光照和阴影的物理学；在3D下表示和操作几何形体；动画和模拟；3D图形软件编程和相关硬件。
二、课程内容
本课程教授的内容
- 光栅化：将三维空间的几何形体显示在屏幕上。在实时图形学（30fps）中广泛应用。
- 曲线和网格：如何表示曲面、如何用简单曲面通过细分得到复杂曲面、在几何体形状发生变化时如何保持其拓扑结构等。
- 光线追踪
- 动画、模拟
本课程不涉及的内容
- OpenGL、DirectX、Vulkan等图形绘制API；
- 如何建模、如何建得好看；
- 计算机视觉领域以图像角度为切入点的研究。
课程作业
每周一个小作业，使用C++语言，提供代码框架和虚拟机环境。一般来说需要写的代码不超过20行。
大作业，使用所学知识和提供的参考，自定义主题，在课程中段开始。
（推荐使用IDE（VS/VSCode））
三、糙、快、猛的线性代数复习
图形学所涉及的知识：
- 基础数学：线代、微积分、统计；
- 基础物理：光学、力学；
- 杂项：信号处理、数值分析，…
- 以及一点点的美学。
平移、旋转和缩放等操作，均可以用向量、矩阵的计算表示。
向量
有方向和长度两个属性，没有绝对的起始位置。向量的长度（magnitude）写作 ∥ a ⃗ ∥ \| \vec a \| ∥a∥，单位向量只表示方向，写作 a ^ \hat a a^， a ^ = a ⃗ / ∥ a ⃗ ∥ \hat a = \vec a /\| \vec a \| a^=a/∥a∥。
- 在图形学中，默认向量以行形式排列，即 A = ( x y ) \bf A = \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix} A=(xy), A T = ( x , y ) \bf A^T = \begin{pmatrix}x,y \end{pmatrix} AT=(x,y)。
向量点积
向量点积： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ cos θ \vec a \, · \, \vec b = \| \vec a \| \| \vec b \| \cos \theta a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ， cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ \cos \theta = \frac {\vec a \, · \, \vec b} {\| \vec a \| \| \vec b \|} cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b。当两个向量都是单位向量时， cos θ = ∥ a ⃗ ∥ ∥ b ⃗ ∥ \cos \theta = \| \vec a \| \| \vec b \| cosθ=∥a∥∥b∥。
- 点积满足的运算性质：交换律、分配律、结合律。
- 在笛卡尔坐标系中，向量点乘结果为对应元素相加再求和。
- 点积在图形学中的作用：找到两个向量的夹角（如光线和平面之间）、一个向量到另一个向量的投影、对一个向量在另一个向量的方向上进行分析，根据点积结果数值判断两个向量是否接近（1）还是完全相反（-1）、方向是相同（>0）还是相反（<0）。
向量叉积
向量叉积：叉积得到的向量垂直于两向量，方向遵循右手定则。
∥
a
⃗
×
b
⃗
∥
=
∥
a
⃗
∥
∥
b
⃗
∥
sin
θ
\|\vec a \, × \, \vec b\| = \| \vec a \| \| \vec b \| \sin \theta
∥a×b∥=∥a∥∥b∥sinθ
叉积可以用于建立三维空间的直角坐标系。对于右手坐标系：
x
⃗
×
y
⃗
=
+
z
⃗
\vec x \, × \, \vec y =+ \vec z
x×y=+z（本课程默认右手系，opengl等api中会假设左手系）
- 叉积满足的运算性质：交换律方向相反： a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec a \, × \, \vec b = - \,\vec b \, × \, \vec a a×b=−b×a， a ⃗ × a ⃗ = 0 \vec a \, × \, \vec a = 0 a×a=0；分配律、结合律仍存在。
- 在笛卡尔坐标系中，叉积结果可以表示为 a ⃗ × b ⃗ = A ∗ b = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec a × \vec b = A^*b=\begin{pmatrix}0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} a×b=A∗b= 0za−ya−za0xaya−xa0 xbybzb ；其中 A ∗ A^* A∗ 称为 a ⃗ \vec a a 的dual matrix。
- 叉积在图形学中的作用：根据叉积结果>0/<0判定两向量之间的左/右关系；判断一个点是否在三角型内（光栅化的基础）：三个顶点与该点连成的向量，与按逆（顺）时针方向连接三个顶点的向量对应叉积均>0(<0)。
标准正交坐标系（Orthonormal Bases / Coordinate Frames）
对于一组正交的单位向量基
u
⃗
,
v
⃗
,
w
⃗
\vec u, \vec v, \vec w
u,v,w，任意向量可以用它在三个基向量的投影与基向量相乘的方式分解：
p
⃗
=
(
p
⃗
⋅
u
⃗
)
u
⃗
+
(
p
⃗
⋅
v
⃗
)
v
⃗
+
(
p
⃗
⋅
w
⃗
)
w
⃗
\vec p = (\vec p \, · \, \vec u)\vec u + (\vec p \, · \, \vec v)\vec v + (\vec p \, · \, \vec w)\vec w
p=(p⋅u)u+(p⋅v)v+(p⋅w)w
矩阵
矩阵在图形学中主要被用于表示图形变换（transformations）。
矩阵乘积
- 运算性质：一般来说不满足交换律，满足结合律和分配律。
矩阵的转置、求逆
- ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT； ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
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