#公式与实现# Jacobi迭代与五点迭代

之前一直不明白Jacobi迭代为什么是五点迭代，今天忽然想到这是二维泊松方程的求解，一切就豁然开朗。

Jacobi迭代基本形式：

$$x_i^{k + 1} = \frac{1}{2}\left( {{b_i} - \sum\limits_{j \ne i} {{a_{ij}}x_j^k} } \right)$$

详细推导见之前博客的引用链接。

对于二维泊松方程，x、y方向采用相同的步长，在x、y方向同时采用中心差分离散可得：

$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {x^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j})}}{{{h^2}}}$$


$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {y^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_i},{y_{j - 1}}) - u({x_i},{y_{j + 1}})}}{{{h^2}}}$$

带入二维Poisson方程即得Poisson方程在

(x_i,y_j)

点的近似离散方程

4u_i, j − u_{i − 1, j} − u_{i + 1, j} − u_{i, j − 1} − u_{i, j + 1} = h²f_i, j

其中

f_i, j = f(x_i, y_j)

，

u_i, j
为
u(x_i, y_j)

的近似。