【排序算法】归并排序

归并排序是应用分治法的一个完美例子，归并排序按照记录在序列中的位置对序列进行划分

一. 算法思想

划分：将待排序序列$r_1$，$r_2$，…，$r_n$划分为两个长度相等的两个子序列$r_1$，…，$r_{n/2}$和$r_{n/2+1}$，…，$r_n$
求解子问题：分别对这两个子序列进行排序，得到两个有序子序列
合并将两个有序子序列合并成一个有序序列

二. 算法过程

1. 首先执行划分过程，将序列划分为两个子序列，如果子序列的长度为1，则划分结束，否则继续划分，最终将具有n个待排序的记录序列划分为n个长度为1的子序列
2. 然后进行两两合并，得到n/2个长度为2（最后一个有序序列的长度可能是1）的有序子序列
3. 再进行两两合并，得到n/4个长度为4的有序序列（最后一个有序序列长度可能小于4）
4. 以此类推，一直合并，直到得到一个长度为n的有序序列

三. 图例

四. 算法实现

C++

void Merge(int r[], int r1[], int s, int m, int t)
{
    int i = s, j = m + 1, k = s;
    while (i <= m && j <= t)
    {
        if (r[i] < r[j]) r1[k++] = r[i++];
        else r1[k++] = r[j++];
    }
    while (i <= m)  //若第一个子序列没处理完则进行收尾
        r1[k++] = r[i++];
    while (j <= t)  //若第二个子序列没处理完则进行收尾
        r1[k++] = r[j++];
}

void MergeSort(int r[], int s, int t) 
{
    int m, r1[1000];
    if (s == t)
    {
        return;
    }
    else
    {
        m = (s + t) / 2;
        MergeSort(r, s, m);
        MergeSort(r, m + 1, t);
        Merge(r, r1, s, m, t);
        for (int i = s; i <= t; i++)
        {
            r[i] = r1[i];
        } 
    }  
}

Java

public void mergeSort(int [] a, int left, int right) {
	int center;
	int[] tmpArray = new int[a.length];
	if (left == right) {
		return;
	}
	else {
		center = (left + right) / 2;
		mergeSort(a, left, center);
        mergeSort(a, center + 1, right);
        merge(a, tmpArray, left, center, right);
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            a[i] = tmpArray[i];
        }
	}
}

public void merge(int [] a, int [] tmpArray, int leftStart, int leftEnd, int rightEnd){
    int rightPos = leftEnd + 1;
    int tmpPos = leftStart;
    int leftPos = leftStart;
    while (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd) {
        if (a[leftPos] <= a[rightPos]) {
            tmpArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
        } else {
            tmpArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
        }
    }
    while (leftPos <= leftEnd) {
        tmpArray[tmpPos++] = a[leftPos++];
    }
    while (rightPos <= rightEnd) {
        tmpArray[tmpPos++] = a[rightPos++];
    }
}

五. 算法分析

1. 时间复杂度：设待排序记录个数为n，则执行一趟合并算法的时间复杂度为$O(n)$。
2. 空间复杂度：归并排序需要与待排序记录序列同样数量的存储空间，以便存放归并结果，所以其空间复杂度为$O(n)$。
3. 稳定性：归并排序在合并过程中，相同元素的前后顺序并没有改变，所以归并排序是一种稳定排序算法。