leetcode52:N皇后 ||

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n × n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回 n 皇后问题 不同的解决方案的数量。

示例 1：

输入：n = 4
输出：2
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 9

步骤1：定义问题性质

计算问题性质：

• 问题描述：n 皇后问题是指在 n x n 的棋盘上放置 n 个皇后，使得任何两个皇后都不能相互攻击。

• 输入条件：一个整数 n，表示棋盘的大小和皇后数量。

• 输出条件：返回不同解决方案的数量。

• 限制条件：

  • 棋盘大小 n 在 1 到 9 之间。

• 潜在边界条件：

  • 当 n=1 时，唯一解是将皇后放在 (1,1) 位置。

  • 当 n=2 或 n=3 时，没有解。

步骤2：分解问题与算法选择

分解步骤：

1. 初始化：开始于第一行，尝试将皇后放置在该行的每一列。

2. 递归检查：对于每一行，尝试将皇后放在每一列，并检查是否与之前放置的皇后冲突（同一列、同一对角线）。

3. 回溯：如果当前放置导致冲突，尝试下一列。如果所有列都尝试过，回溯到上一行。

4. 解的计数：当完成所有行且没有冲突时，增加解的计数。

最佳算法设计思路：

• 回溯法：这是解决 n 皇后问题的最佳方法。回溯法通过尝试所有可能性但在发现无解时迅速回溯，减少了不必要的计算。

  • 时间复杂度：O(N!), 因为需要检查每一种可能的排列，但由于剪枝，实际运行时间会远低于此。

  • 空间复杂度：O(N) 用于存储每个皇后的位置或状态。

步骤3：C++实现

class Solution {
private:
    int count = 0;  // 用于计数有效的解

    // 检查是否可以放置皇后
    bool isValid(int row, int col, const std::vector<int>& queens) {
        for (int i = 0; i < row; ++i) {
            if (queens[i] == col || 
                std::abs(queens[i] - col) == std::abs(i - row)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // 递归求解
    void solveNQueensHelper(int n, int row, std::vector<int>& queens) {
        if (row == n) {
            ++count;
            return;
        }

        for (int col = 0; col < n; ++col) {
            if (isValid(row, col, queens)) {
                queens[row] = col;  // 尝试放置皇后
                solveNQueensHelper(n, row + 1, queens);
            }
        }
    }

public:
    int totalNQueens(int n) {
        std::vector<int> queens(n, -1);  // 记录每一行皇后的位置
        solveNQueensHelper(n, 0, queens);
        return count;
    }
};

步骤4：启发

• 回溯法的应用可以帮助解决许多排列组合和约束满足问题，教导我们如何在复杂问题中寻找有效解。

• 剪枝策略的重要性，通过提前判断无效状态减少了计算量。

• 问题抽象：将棋盘问题抽象为位置数组，简化了问题处理。

步骤5：实际生活中的应用

应用场景：

• 任务调度：在多任务操作系统或项目管理中，将任务视为皇后，时间片或资源视为棋盘格，保证任务之间无冲突。

   

  具体实现：

  • 资源分配：在一个大型IT项目中，假设有多个开发团队（皇后）需要使用同一套服务器资源（棋盘）。我们可以使用n皇后算法来安排不同团队的服务器使用时间，确保在同一时间段内没有两个团队使用相同的服务器资源，从而避免资源冲突。

  • 实现方法：

    • 定义一个虚拟的“时间棋盘”，每行代表一天，每列代表一个服务器。

    • 使用回溯法尝试分配每天的服务器使用，确保同一服务器在一天内不被多个团队使用（同列冲突），不同天使用同一服务器的团队不重叠（对角线冲突）。

    • 在解决方案中，每个团队的分配可以看作是解决方案的一个“解”，通过这种方式可以优化资源的使用效率，减少项目延误和资源冲突。