Apr 17th 数字图像处理连载（06）

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3.3 直方图的处理

3.3.1 直方图均衡

一幅图像具有灰度级别，我们可以把灰度级别视为区间在$[0,L-1]$内的随机变量。随机变量用来描绘概率密度函数。
由概率论得到的基本结果，如果$P_r(r)$和$T(r)$已知，而且在感兴趣的值域上$T(r)$连续可微，那么变换之后的变量$s$的概率密度函数如下：

$$P_s(s)=P_r(r) \left| \frac{{\rm d}r}{{\rm d}s} \right|$$
这里可以看出，输出灰度变量的PDF和输入灰度的PDF和变换函数决定。在图像处理中的一个重要的变换函数是：

$$s=T(r)=(L-1) \int_0^r {P_r(w)} \,{\rm d}w$$
这个公式的右边是随机变量$r$的积累分布函数，这里的话，因为PDF一直是正值，那么这个积分的值就是这个概率密度函数包围的面积。又因为函数下的面积不随着$r$的增大而减小，这个公式的上限:$r=(L-1)$，这个时候的积分为1，也就是PDF曲线下方的面积始终为1，所以说当时的$s$的最大值是$(L-1)$这里的话，是符合之前的条件的。
为了寻找讨论相应的变化$P_s(s)$，由于基本积分学都莱布尼茨准则可以知道，关于上限的定积分的导数是被积函数在上限的值。

$${\rm d}s/{\rm d}r = {\rm d}T(r)/{\rm d}r = (L-1) {\rm}/{\rm d}r [\int_0^r P_r(w)dw]=(L-1)P_r(r)$$
把${\rm d}r/{\rm d}s$结果带入后，把概率的密度值设置为正，这样子就可以得到
$$P_s(s)=P_r(r) \left| \frac{{\rm d}r}{{\rm d}s} \right| = P_r(r) \left| \frac{1}{{(L-1)P_r(r)}} \right| = \frac{1}{{L-1}}$$
其中，$0 \leq s \leq L-1$，
通过最后一行中的$P_s(s)$中可知，这个是均匀概率密度函数。