简单数位DP总结

数位dp，顾名思义，其实就是在数位上进行的dp。为何需要在数位上进行dp?自然是因为暴力不合适。

例如：求a~b中不包含49的数的个数. 0 < a、b < 2*10^9
注意到n的数据范围非常大，暴力求解是不可能的，考虑dp,如果直接记录下数字，数组会开不起，该怎么办呢？要用到数位dp。

数位dp一般应用于：
1. 求出在给定区间[A,B]内，符合条件P(i)的数i的个数.
2. 条件P(i)一般与数的大小无关，而与 数的组成 有关.

例题1：HDU 2089
题目很简单，事实上由于数据量很小，直接暴力打表然后O(1)也是可以做的。练习数位dp。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b,num[20],dp[20][2];
//记忆化搜索，可以有效减少时间
//flag判断前一层是否是6,limit用来判断这一层能取到的最大值
int dfs(int len, bool flag, bool limit)
{
    if (len == 0)
        return 1;
    if (!limit && dp[len][flag])
        return dp[len][flag];
    int cnt = 0, maxx = (limit ? num[len] : 9);
    for (int i = 0; i <= maxx; i++){
        if (i == 4 || flag && i == 2)
            continue;
        cnt += dfs(len - 1, i == 6, limit && i == maxx);
    }
    return limit ? cnt : dp[len][flag] = cnt;
}

int solve(int x)
{
    memset(num, 0, sizeof(num));
    int k = 0;
    while (x)
    {
        num[++k] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(k, false, true);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d", &a, &b)&&a!=0&&b!=0)
    {
        printf("%d\n", solve(b) - solve(a - 1));
    }
    return 0;
}

例题2：HDU 4734

边界：
dp[i][j]如果j小于0，显然是dp[i][j]=0的，如果i==0，说明就是0，显然任何数都比0大，所以dp[i][j]对于j>=0的时候dp[i][j]=1,否则dp[i][j]=0。

状态转移：
dp[i][j]+=dp[i-1][j-k*(1<<(i-1))]；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[10][200000], mx[10];
int dfs(int len, int pre, bool flag)
{
    if (len < 0)
        return pre >= 0;
    if (pre < 0)
        return 0;
    if (!flag && dp[len][pre] != -1)
        return dp[len][pre];
    int maxn = flag?mx[len]:9, ans = 0;
    for (int i = 0; i <= maxn; ++i) {
        ans += dfs(len-1, pre-i*(1<<len), flag&&i==maxn);
    }
    return flag?ans:dp[len][pre] = ans;
}

int f(int x)
{
    int tmp = 1, ans = 0;
    while (x) {
        ans += x%10*tmp;
        x /= 10;
        tmp *= 2;
    }
    return ans;
}

int cal(int a, int b)
{
    int top = 0;
    while (b) {
        mx[top++] = b%10;
        b /= 10;
    }
    return dfs(top-1, f(a), true);
}

int main()
{
    int T;
    int a, b;
    scanf("%d", &T);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for(int tt=1;tt<=T;tt++){
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("Case #%d: %d\n",tt , cal(a, b));
    }
    return 0;
}