【PA2015】【BZOJ4297】Rozstaw szyn

给定一棵有n个点,m个叶子节点的树,需要指定非叶子节点的权值使得相邻节点权值差绝对值之和最小。输入包括树的结构和叶子节点的权值,输出最小的权值差之和。样例输入描述了一个6节点、4叶子节点的树,输出为35。解决方法涉及重构图并从孩子节点逆推父亲节点的取值范围。

Description

给定一棵有n个点,m个叶子节点的树,其中m个叶子节点分别为1到m号点,每个叶子节点有一个权值r[i]。你需要给剩下n-m个点各指定一个权值,使得树上相邻两个点的权值差的绝对值之和最小。

Input

第一行包含两个正整数n,m(2<=n<=500000,1<=m<=n),分别表示点数和叶子数。
接下来n-1行,每行两个正整数u,v(1<=u,v<=n),表示u与v之间有一条边。
接下来m行,每行一个正整数,依次为r[1],r[2],…,rm,表示每个叶子的权值。

Output

输出一个整数,即树上相邻两个点的权值差的绝对值之和的最小值。

Sample Input

6 4

1 5

2 5

3 6

4 6

5 6

5

10

20

40
Sample Output

35
HINT

Source

By Claris

这题不会做..后来看了Claris题解..
大致就是拆掉叶子点,重构一下图,然后可以从孩子逆推到父亲节点的取值范围.
Claris的题解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 500010
#define LL long long
#define GET (ch>='0'&&ch<='9')
using namespace std;
int n,m,top,tp;
int c,head=1,tail;
LL ans,sum,tmp,now;
i
### NOIP2015 运输计划 BZOJ4326 题解分析 #### 问题背景 该问题是经典的图论优化问题之一,主要考察树结构上的路径操作以及高效的数据处理能力。题目要求在一个由 $n$ 个节点组成的无向连通树中找到最优的一条边将其改造为虫洞(通过此边不需要耗费时间),从而使得给定的 $m$ 条运输路径中的最长耗时最小化。 --- #### 解决方案概述 解决这一问题的核心在于利用 **二分答案** 和 **树上差分技术** 的组合来实现高效的计算过程。以下是具体的技术细节: 1. **二分答案**: 设当前目标是最小化的最大路径长度为 $T_{\text{max}}$。我们可以通过二分的方式逐步逼近最终的结果。每次尝试验证是否存在一种方式将某条边改为虫洞后使所有路径的最大值不超过当前设定的目标值 $mid$[^1]。 2. **路径标记与统计**: 使用树上差分的思想对每一条路径进行标记并快速统计受影响的情况。假设两点之间的最近公共祖先 (Lowest Common Ancestor, LCA) 是 $r = \text{lca}(u_i, v_i)$,则可以在三个位置分别施加影响:增加 $(u_i + 1), (v_i + 1)$ 同时减少 $(r - 2)$。这种操作能够有效覆盖整条路径的影响范围,并便于后续统一查询和判断[^1]。 3. **数据结构支持**: 结合线段树或者 BIT (Binary Indexed Tree),可以进一步加速区间修改和单点查询的操作效率。这些工具帮助我们在复杂度范围内完成大量路径的同时更新和检索需求[^2]。 4. **实际编码技巧**: 实现过程中需要注意一些边界条件和技术要点: - 正确维护 DFS 序列以便映射原树节点到连续编号序列; - 准备好辅助函数用于快速定位 LCA 节点及其对应关系; - 编码阶段应特别留意变量初始化顺序及循环终止逻辑以防潜在错误发生。 下面给出一段基于上述原理的具体 Python 实现代码作为参考: ```python from collections import defaultdict, deque class Solution: def __init__(self, n, edges): self.n = n self.graph = defaultdict(list) for u, v, w in edges: self.graph[u].append((v, w)) self.graph[v].append((u, w)) def preprocess(self): """Preprocess the tree to get dfs order and lca.""" pass def binary_search_answer(self, paths): low, high = 0, int(1e9) best_possible_time = high while low <= high: mid = (low + high) // 2 if self.check(mid, paths): # Check feasibility with current 'mid' best_possible_time = min(best_possible_time, mid) high = mid - 1 else: low = mid + 1 return best_possible_time def check(self, limit, paths): diff_array = [0]*(self.n+1) for path_start, path_end in paths: r = self.lca(path_start, path_end) # Apply difference on nodes based on their relationship. diff_array[path_start] += 1 diff_array[path_end] += 1 diff_array[r] -= 2 suffix_sum = [sum(diff_array[:i]) for i in range(len(diff_array)+1)] # Verify whether any edge can be modified within given constraints. possible_to_reduce_max = False for node in range(1, self.n+1): parent_node = self.parent[node] if suffix_sum[node]-suffix_sum[parent_node]>limit: continue elif not possible_to_reduce_max: possible_to_reduce_max=True return possible_to_reduce_max # Example usage of class methods would follow here... ``` --- #### 总结说明 综上所述,本题的关键突破点在于如何巧妙运用二分策略缩小搜索空间,再辅以恰当的树形结构遍历技术和差分手段提升整体性能表现。这种方法不仅适用于此类特定场景下的最优化求解任务,在更广泛的动态规划领域也有着广泛的应用前景[^3]。 ---
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