【网络流】网络流学习笔记Part2ISAP算法

说实话ISAP的文献真的不太好找= =而且介绍的没有太详细，不像SAP Dinic比较普及。

ISAP其实是改进的SAP算法，要学ISAP就先去看一下SAP好了。（事实上很多人会把ISAP和SAP搞混了。尤其在国内，很多人会直接管ISAP叫SAP）

SAP算法（即Edmonds-Karp算法）：

不断进行BFS找增广路径，那么最多找V*E次就一定不存在增广路径了。

时间复杂度 O（V*E^2）

ISAP算法：

通过维护距离标号使得寻找增广路径的过程被简化从而提高效率。距离标号可以使某个点到汇点sink的最少的弧的数量，也可以是源点到该点的最少的弧的数量。通常我们使用前者，这样初始化时就可以通过一次反向的BFS来记录距离标号。

假设点i的距离标号dis[i]=dis[j]+1，则称弧（i，j）为允许弧，在增广时我们只需要找允许弧，就可以使所走路径一定是最短路。

算法的执行：

首先反向BFS初始化距离标号

从源点开始进行增广

设当前访问点为点i

1>若当前i点存在出弧且出弧为允许弧，沿出弧向下执行

2>若当前i点不存在出弧即i为当前路径终点，直接进行增广

3>若当前i点存在出弧但是出弧中不存在允许弧，更新i点的距离标号为所有出弧指向的点的距离标号的最小值+1，之后返回上层。当dis[source]≥顶点数n时，算法全过程停止。

由于蒟蒻太弱了不太会写伪代码，这里引用一下@柔软的小猫点击打开链接的伪代码

algorithm Improved-Shortest-Augmenting-Path
1 f <-- 0
2 从终点 t 开始进行一遍反向 BFS 求得所有顶点的起始距离标号 d(i)
3 i <-- s
4 while d(s) < n do
5 if i = t then // 找到增广路
6 Augment
7 i <-- s // 从源点 s 开始下次寻找
8 if Gf 包含从 i 出发的一条允许弧 (i,j)
9 then Advance(i)
10 else Retreat(i) // 没有从 i 出发的允许弧则回退
11 return f

procedure Advance(i)
1 设 (i,j) 为从 i 出发的一条允许弧
2 pi(j) <-- i // 保存一条反向路径，为回退时准备
3 i <-- j // 前进一步，使 j 成为当前结点

procedure Retreat(i)
1 d(i) <-- 1 + min{d(j):(i,j)属于残量网络Gf} // 称为重标号的操作
2 if i != s
3 then i <-- pi(i) // 回退一步

procedure Augment
1 pi 中记录为当前找到的增广路 P
2 delta <-- min{rij:(i,j)属于P}
3 沿路径 P 增广 delta 的流量
4 更新残量网络 Gf

邻接表优化

如果顶点多的话，往往N^2存不下，这时候就要存边：

存每条边的出发点，终止点和价值，然后排序一下，再记录每个出发点的位置。以后要调用从出发点出发的边时候，只需要从记录的位置开始找即可（其实可以用链表）。优点是时间加快空间节省，缺点是编程复杂度将变大，所以在题目允许的情况下，建议使用邻接矩阵。

GAP优化

如果一次重标号时，出现距离断层，则可以证明ST无可行流，此时则可以直接退出算法。

当前弧优化

为了使每次找增广路的时间变成均摊O(V)，还有一个重要的优化是对于每个点保存“当前弧”：初始时当前弧是邻接表的第一条弧；在邻接表中查找时从当前弧开始查找，找到了一条允许弧，就把这条弧设为当前弧；改变距离标号时，把当前弧重新设为邻接表的第一条弧。