拉格朗日数乘法(ALM)

拉格朗日数乘法是求解带有约束条件的优化问题的一种方法。给定一个含有 $n$ 个变量和 $m$ 个约束条件的优化问题: $$ \begin{aligned} & \min f(x) \\ \text{s.t. } & g_i(x) = 0, \quad i = 1,2,\ldots,m \\ & h_j(x) \leq 0, \quad j = 1,2,\ldots,p \end{aligned} $$ 其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 是优化变量,$f(x)$ 是目标函,$g_i(x)$ 和 $h_j(x)$ 分别是等式约束和不等式约束。拉格朗为: $$ L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^p \mu_j h_j(x) $$ 其中 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$ 是拉格朗乘子。拉格朗对偶函为: $$ g(\lambda,\mu) = \inf_{x} L(x,\lambda,\mu) $$ 拉格朗对偶问题为: $$ \begin{aligned} & \max g(\lambda,\mu) \\ \text{s.t. } & \lambda_i \geq 0, \quad i=1,2,\ldots,m \end{aligned} $$ 拉格朗日数乘法即为在原问题和对偶问题之间不断切换求解的方法。具体实现过程如下: 1. 初始化拉格朗乘子 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$,并设定最大迭代次 $T$ 和收敛阈值 $\epsilon$; 2. 在每次迭代中,先固定 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$,求解 $L(x,\lambda,\mu)$ 的最小值。这可以通过使用牛顿法或梯度下降法来求解; 3. 通过 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$ 计算出拉格朗对偶函 $g(\lambda,\mu)$ 的最大值,并更新 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$; 4. 如果 $\lambda_i$ 和 $\mu_j$ 的变化量小于阈值 $\epsilon$ 或者达到最大迭代次 $T$,则停止迭代,否则返回第二步。 下面是用 Python 实现拉格朗日数乘法的示例代码: ```python import numpy as np from scipy.optimize import minimize def lagrange_multipliers(x, f, g_eq, g_ineq): """ 求解带有等式约束和不等式约束的拉格朗乘子 :param x: 优化变量 :param f: 目标函 :param g_eq: 等式约束 :param g_ineq: 不等式约束 :return: lambda_, mu """ # 定义拉格朗 def lagrangian(x, lambda_, mu): return f(x) + np.dot(lambda_, g_eq(x)) + np.dot(mu, np.maximum(g_ineq(x), 0)) # 定义约束优化问题 def constraint(x): return np.concatenate([g_eq(x), g_ineq(x)]) # 初始化拉格朗乘子 lambda_ = np.zeros_like(g_eq(x)) mu = np.zeros_like(g_ineq(x)) # 迭代求解拉格朗乘子 for i in range(100): # 固定 lambda_ 和 mu,求解 L(x, lambda_, mu) 的最小值 res = minimize(lambda x: lagrangian(x, lambda_, mu), x, constraints={'type': 'eq', 'fun': lambda x: g_eq(x)}) x = res.x # 更新 lambda_ 和 mu lambda_ += 1.0 * g_eq(x) mu += np.maximum(g_ineq(x), 0) # 判断是否达到收敛条件 if np.max(np.abs(constraint(x))) < 1e-6: break return lambda_, mu ``` 其中,`x` 是优化变量,`f` 是目标函,`g_eq` 和 `g_ineq` 分别是等式约束和不等式约束。函返回求解得到的拉格朗乘子 $\lambda$ 和 $\mu$。
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