什么是数学中的算子(算符)(operator)

目录

1.    数学中所指的算子

1.1   算子的主要特征

1.2   例子

2.    物理学中所指的算子

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1.    数学中所指的算子

在数学中，算子(operator)(或称算符)通常是一种(最简单的)映射或函数，它作用于一个空间的元素上，从而产生另一个空间的元素(有时可能需要是同一个空间)。算子没有通用的定义，但当其定义域是一组函数或其他结构化对象时，通常用该术语代替函数。此外，算子的定义域通常难以明确描述(例如积分算子的情况)，并且可以扩展以作用于相关对象(作用于函数的算子也可能作用于微分方程，其解是满足该方程的函数)。在本质上，它是将一个或多个输入(可以是数字、函数或其他数学对象)转换为结果输出的规则。简单来说：将算子视为一个数学动词。它描述对某个对象(表达式或函数)执行的操作。例如，“+”运算符表示将两个数字相加。任意运算符号都可以看成一种算子。

    最基本的算子是线性算子，其作用于向量空间。线性算子指的是其域和范围是相同空间的线性映射，比如从   到   。这样的算子通常保持属性不变，例如连续性。例如，微分和无穷积分是线性算子，基于它们建立的算子称为微分算子和积分算子或积分微分算子。

算子也用于表示数学运算的符号(运算符)。这与计算机编程中“运算符(函数)(operator)”的意义有关，在计算机编程中，运算符是一种编程语言结构，它提供的功能可能无法定义为用户自定义函数(例如 C 语言中的 sizeof() )，或者其语法与函数不同(例如中缀加法，如 a + b)。与其他编程语言概念一样，运算符的含义虽然在实践者中存在争议，但普遍接受。同时，每一种语言在其特定语境下赋予其特定含义，因此其含义因语言而异。

1.1   算子的主要特征

(1) 变换

算子根据定义的规则更改或修改输入。

(2) 表示符号(任意运算符号都可以看成一种算子)

它们通常用 + , - , × , ÷, √ ,∫ , d/dx 等符号表示。

(3) 函数之函数

在许多情况下，特别是在函数分析(泛函分析)等领域，算子是将其他函数作为输入并产生其他函数作为输出的函数。

1.2   例子

算子的例子包括加法 (+)，减法 (-)，乘法 (×) 和除法 (÷) 等基本算术运算。其他示例包括：

• 微分算子 (d/dx)：该算子求一个函数的导数。

• 积分算子 (∫)：该算子求一个函数的积分。

• 平方根算子 (√)：该算子求一个数的平方根。

• 矩阵乘法算子：在线性代数中，矩阵可以作为向量变换的算子。

2.    物理学中所指的算子

算符是从一个物理状态空间到另一个状态空间的函数。算符用途最简单的例子是研究对称性(这使得群的概念在这种情况下变得有用)。正因为如此，它们是经典力学中非常有用的工具。算符在量子力学中更为重要，它们构成了理论表述的内在组成部分。它们在描述可观测量(例如能量、动量等可测量量)方面发挥着核心作用。