拓扑学：单纯形(simplex)

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#拓扑学 #单纯形 #粘合 #复形 #单纯复形

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单纯形(simplex(simplexes或simplices))

1. 术语单纯形(simplex)的词源

作为形容词，词义为“通过单一部分刻画的，”来自拉丁语“simplex”,词义为“single(单一的)，simple(简单的)，plain(朴实的)，unmixed(纯粹的)，uncompounded(非复合的)，” 字面意思是“one-fold (单一的；单纯的)”。

在数学意义上的用法由Pieter Hendrik Schoute (注：荷兰数学家)在1902年引入，在其著作 << Mehrdimensionale Geometrie>>(多维几何)(德语)中，Schoute起初建议使用术语“Simplicissimum，” 但此后在下一页简写为“simplex” 。

2. 单纯形简述

在几何学中，一个单纯形(复数：simplexes或simplices)是一个三角形(triangle)或四面体(tetrahedron)的概念向任意维度的推广。命名为单纯形是因为它表示任意已知维度中最简单的多面体(polytope)。例如：

一个0维单纯形(0-dimensional)是一个点，

一个1维单纯形(1-dimensional)是一条线段，

一个2维单纯形(2-dimensional)是一个三角形，

一个3维单纯形(3- dimensional)是一个多面体，

一个4单纯形(4- dimensional)是一个5点细胞体(5-cell)，

具本来说，一个 k维单纯形(k-simplex)就是一个k维(k-dimensional)多面体，即是其(k + 1)个顶点的凸包(convex hull)。更正式地讲，假设 (k + 1)个点 $u_{0} ,..., u_{k}$ 是仿射独立的(affinely independent), 其指的是 k 个向量 $u_{1} - u_{0} ,..., u_{k} - u_{0}$ 是线性无关的。则由它们确定的单纯形是点集

$\displaystyle C = \left \{ \theta_{0} u_{0} +... +\theta_{k} u_{k } \bigg \vert \sum_{i=0}^{k}\theta_{i} = 1 \;\;and\;\; \theta_i \geq 0 (for\;\; i = 0,...,k ) \right \}$ 。