树形DP

树形DP

前言
自我感觉挺简单的
废话不多说，进入正题

---

定义

树形DP，顾名思义，就是在树上进行得DP(这不废话吗)

---

特点

主要有以下特征:

1.该树是一颗无环图

2.无后效性

满足这些条件一般就可以进行树形DP

---

实现

子问题通常都是以一颗子树为一个子问题，然后根据题目需求再状态拆分

如下题

某公司要举办一次晚会，但是为了使得晚会的气氛更加活跃，每个参加晚会的人都不希望在晚会中见到他的直接上司，现在已知每个人的活跃指数和上司关系（当然不可能存在环），求邀请哪些人（多少人）来能使得晚会的总活跃指数最大。

这是一题经典的树形DP

首先，我们用f[i][0]表示以i为根而不选i最多能选多少人，而f[i][1]表示选i最多能选多少人

那么子问题就很清晰了

$f[i][0]=\sum \max(f[j][1],f[j][0])$

$f[i][1]=\sum f[j][0]$

---

注意事项

实现主要有两种方法：
1.dfs（如在双向边时,注意不能遍历到父亲节点）
2.拓扑排序+bfs（比较烦……）

要注意边界条件（也就是叶子节点）：如上题，f[i][0]=0,f[i][1]=1(i为叶子节点)

---

总结

做树形DP要灵活变通，问题才能迎刃而解