【自制演示代码】Basic Operations on a Binary Min-Heap

Properties of a Binary Min-Heap

1. Structure Property

A binary min-heap has to be a complete binary tree.

2. Heap Order Property

The value of any node in a binary min-heap has to be no greater than its two children's values(if exists).

Operations Included in the Code

In the following code, you will see the operations below:

- BuildHeap

- PercolateDown

- PercolateUp

- Insert

- DeleteMin

- PrintHeap

Also, you will see the simple typedef of:

- Heap

Notes and Declarations

The code will sort the input sequence with a heap.

The language used is C.

The purpose of posting this code online is to make a quick note of my studying progress.

For students at school, DO NOT copy this code into your homework or projects. Otherwise, I will not be responsible for any pu

<think>好的,我现在需要回答用户关于二叉最小的实现和属性的问题。首先,我要回忆一下二叉的基本概念。二叉是一种完全二叉树,最小的特点是每个节点的值都小于或等于其子节点的值。这意味着根节点是整个中的最小值。 接下来,用户提到了实现方法。我需要考虑如何用数组来表示二叉,因为完全二叉树可以用数组高效地存储。例如,父节点和子节点的索引可以通过公式计算出来。比如父节点的索引是$(i-1)/2$,左子节点是$2i+1$,右子节点是$2i+2$。这些公式在代码中会经常用到,比如在插入或删除元素时调整的结构。 然后,我需要介绍最小的基本操作,如插入和提取最小值。插入操作通常是将新元素放在数组末尾,然后通过上浮(percolate up)操作调整位置,直到满足的性质。提取最小值则是取出根节点,然后将最后一个元素移到根的位置,再进行下沉(percolate down)操作,确保的性质不被破坏。 属性方面,二叉的时间复杂度是关键点。插入和提取操作的时间复杂度都是$O(\log n)$,而获取最小值是$O(1)$,因为可以直接访问根节点。另外,的构建可以通过Floyd算法在$O(n)$时间内完成,这可能也是用户感兴趣的内容。 用户提供的引用中提到了父节点和子节点的函数实现,这部分代码可以作为示例展示。同时,引用[2]提到属性可能来自其他jar文件,但这里可能是指的属性,比如结构特性和操作复杂度,需要明确区分。 还需要注意用户可能对的应用场景感兴趣,比如优先队列、排序等。不过用户的问题主要集中在实现和属性上,可能需要简要提及应用以增强理解。 最后,要确保回答结构清晰,分点说明实现步骤和属性,并给出代码示例。同时,按照要求生成相关问题,帮助用户进一步学习。</think>### 二叉最小的实现与特性 #### 1. 基本概念 二叉最小是一种**完全二叉树**,满足每个节点的值均小于或等于其子节点的值。这一性质称为**最小性质**,保证了根节点是全局最小值。 #### 2. 核心实现方法 **(1) 存储结构** 使用数组表示完全二叉树,索引关系如下: - 父节点索引:$ \text{parent}(i) = \lfloor (i-1)/2 \rfloor $ - 左子节点索引:$ \text{left\_child}(i) = 2i + 1 $ - 右子节点索引:$ \text{right\_child}(i) = 2i + 2 $ **(2) 关键操作** ```python class MinHeap: def __init__(self): self.heap = [] def parent(self, i): return (i - 1) // 2 def insert(self, key): self.heap.append(key) i = len(self.heap) - 1 # 上浮操作维护性质 while i > 0 and self.heap[i] < self.heap[self.parent(i)]: self.heap[i], self.heap[self.parent(i)] = self.heap[self.parent(i)], self.heap[i] i = self.parent(i) def extract_min(self): if not self.heap: return None min_val = self.heap[0] self.heap[0] = self.heap[-1] self.heap.pop() # 下沉操作维护性质 self._heapify(0) return min_val def _heapify(self, i): left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 smallest = i if left < len(self.heap) and self.heap[left] < self.heap[smallest]: smallest = left if right < len(self.heap) and self.heap[right] < self.heap[smallest]: smallest = right if smallest != i: self.heap[i], self.heap[smallest] = self.heap[smallest], self.heap[i] self._heapify(smallest) ``` #### 3. 重要属性 1. **结构特性** 完全二叉树结构保证高度为$ \lfloor \log n \rfloor $,支持高效操作[^1]。 2. **时间复杂度** - 插入元素(`insert`): $O(\log n)$ - 提取最小值(`extract_min`): $O(\log n)$ - 获取最小值(`get_min`): $O(1)$ [^1] 3. **构建优化** 可通过Floyd算法在$O(n)$时间内将无序数组构建为:从最后一个非叶子节点开始反向执行`_heapify`。 #### 4. 应用场景 - 优先队列实现 - 排序算法 - 图算法(如Dijkstra最短路径)
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