【NOIP2012模拟10.26】雕塑

Description

【问题描述】

Wcyz为了迎接百年校庆，美化校园，请了校友笨笨将n座雕塑，准备安置在校园内，整个校园可以抽象成一个nn的大网格，每个11网格最多只能安置一座雕塑，但是某些1*1的网格上恰好是一个食堂或湖泊，这些网格是不能安置雕塑的，每个雕塑的造型相同，这样同一种安置方案中交换排列都算一种。任意雕塑在同一行或同一列是不合法的方案。

学校想知道有多少种安置方案，笨笨想从中选择最好的一种方案，笨笨想请你告诉他方

案种数。

Input

【输入格式】

第一行，两个整数n，m（n<=20,m<=10），用空格隔开，n表示n*n的大网格，m表示不能安置雕塑的位置


第二行至m+1行，每行两个数x，y，用空格分开，表示坐标（x,y）的1*1 的网格上不能安置雕塑。

Output

【输出格式】

一个数，方案种数（方案种数<=2^63-1）

Sample Input
6 7
1 1
2 1
2 2
3 3
3 4
4 3
4 4

Sample Output
184

Data Constraint

Hint

n<=20,m<=10

思路：

1. 有些大佬是用状压做的，可以设f[i][j]为做到第i行列放置状态为j的方案数。
2. 当时考场没想出来，故考试完直接看TJ，打了容斥。

关于此题与容斥

总方案数=n！-不合法的方案数
再来进行进一步的分析：用rk表示把k个雕塑放在了n*n的方格上（就是说可能没放够n个），并且这k个雕塑都处在禁区放置位置上的方案数，dfs求。

接下来就是小编是如何理解不合法的方案数的了

• 对于r[1],表示整个网格图中任意选了一个障碍的方案数

• 因为实际要放n个，已经放了一个，那么还有（n-1）行没有放，对应r[1]的方案数为（n-1）！ * r[1]

• 显然这些方案数都是不合法的,therefore ans-=（n-1）！ * r[1]

• 这是答案吗？

• 显然不是。

• 设在r[1]这些方案中，一个放了位置a，一个放了位置b，且a，b不在同一行或同一列。放a的方案总数，就是除了a行外其他行放雕像的方案数（n-1）！，累计起来。b同理，再累计。

• 有没有发现同种方案放重复了？

• 

设对应r[1]的方案数为t
举一个例子，上面图的r[1]为2 （(1,1) 或(2,2)）
令a是（1,1），则t+=1! (一种方案，为（1,1）（2,2）)
令b是（2,2），则t+=1! (一种方案，为（2,2）（1,1）)
重复了!
怎么办？
这时候就要用到r[2]，ans-=（n-1）！ * r[1]，减多了，加回来，加上重复的方案，即r[2](n-2)！ (重复的情况是两两的)
同理，发现加回的又多了

r[2]=3
（1,1）（2,2）— （1,1）（2,2）（3,3）
（1,1）（3,3）— （1,1） （3,3） （2,2 ）
（2,2） （3,3 ）— （2,2） （3,3）（1,1）
再减回来
减的又多了，再加回来
…
得到
根据容斥原理的推论n个雕塑都安置在非禁区内的方案数等于
n!-r1(n-1)!+r2*(n-2)！-r3*(n-3)!..(-1)^kr[k](n-k)!
证毕。