【数据结构】深入理解AVL树：实现和应用

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它能够保持良好的平衡性质，使得在最坏情况下的时间复杂度也能保持在对数级别。本文将深入介绍AVL树的原理、实现和应用，并通过示例代码演示其基本操作。

什么是AVL树？

AVL树是由两位苏联数学家Adelson-Velsky和Landis于1962年发明的，它的特点是能够在插入和删除节点时自动调整树的结构，以保持树的平衡性。在AVL树中，任意节点的左右子树高度差不超过1，这就保证了整棵树的高度始终保持在对数级别，从而保证了插入、删除和查找等操作的高效性。

AVL树的实现

以下是一个C++实现的AVL树的基本结构和操作示例：

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
   
   
	AVLTreeNode(const T& data = T())
	: _pLeft(nullptr)
	, _pRight(nullptr)
	, _pParent(nullptr)
	, _data(data)
	, _bf(0)
	{
   
   }

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;   // 节点的平衡因子
};


// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{
   
   
	typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
	AVLTree()
		: _pRoot(nullptr)
	{
   
   }

    // 在AVL树中插入值为data的节点
	bool Insert(const T& data);
    
    // AVL树的验证
	bool IsAVLTree()
	{
   
   
		return _IsAVLTree(_pRoot);
	}

private:
    // 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树
	bool _IsAVLTree(Node* pRoot);
	size_t _Height(Node* pRoot);
    // 右单旋
	void RotateR(Node* pParent);
    // 左单旋
	void RotateL(Node* pParent);
    // 右左双旋
	void RotateRL(Node* pParent);
    // 左右双旋
	void RotateLR(Node* pParent);

private:
	Node* _pRoot;
};

在AVL树中插入值为data的节点实现：

// 在AVL树中插入值为data的节点
bool Insert(const T& data) {
   
   
	// 插入节点
	if (_pRoot == nullptr) {
   
   
		_pRoot = new Node(data);
		return true;
	}

	Node* pParent = nullptr;
	Node* pCur = _pRoot;
	while (pCur) {
   
   
		pParent = pCur;
		if (data < pCur->_data)
			pCur = pCur->_pLeft; // 往左子树查找
		else if (data > pCur->_data) 
			pCur = pCur->_pRight; // 往右子树查找
		else
			return false; // 重复值不插入
	}

	// 创建新节点
	pCur = new Node(data);
	if (data < pParent->_data)
		pParent->_pLeft = pCur;
	else
		pParent->_pRight = pCur;

	pCur->_pParent = pParent;

	// 插入节点后，更新平衡因子并进行平衡处理
	while (pParent) {
   
   
		if (pCur == pParent->_pLeft) // 更新节点在左子树
			--pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子
		else
			++pParent->_bf; // 更新父节点的平衡因子

		if (0 == pParent->_bf) // 如果平衡旋转结束
			break;

			// 如果父节点的bf==1或-1，则不需要调整，直接向上更新即可
		if (