这篇博客介绍了旋量的概念及其在刚体运动中的应用。旋量是描述刚体平移和旋转运动的一种数学工具，包括旋转运动的角速度和平移运动的速度。文章通过矩阵形式展示了如何用旋量表示点在不同坐标系中的运动状态，并通过微分方程求解运动轨迹。
一、前言
在之前的博文坐标旋转中，简单介绍了平面坐标系以及三维坐标系中的绕坐标轴旋转运动。在机器人运动中，除了坐标系的旋转外，往往还要考虑平移运动，在三维空间中，刚体的旋转运动可以用绕一根轴的螺旋运动来描述。接下来，我们将逐步引出旋量的概念。
二、预备知识
刚体在坐标系中的运动，一般情况下是平移运动与旋转运动的结合，特殊情况是纯平移运动或纯旋转运动。
2.1 平移运动
在上图中，坐标系 $A$ 平移到坐标系 $B$，可以用 $\pmb p_{ab}$ 表示平移关系。假设，$B$ 坐标系中的任一点 $Q$，在 $B$ 系中的坐标可用向量 $\pmb p_b$ 表示，$Q$ 在 $A$ 系中的坐标可以用 $\pmb p_a$ 表示，显然有： $$ \pmb p_a = \pmb p_{ab} + \pmb p_b \tag{2-1} $$
2.2 旋转运动
坐标旋转运动的基本思想在博客坐标旋转中已经有了介绍，这篇文章中只是介绍了绕单轴旋转的情况，对于不是绕单轴的旋转运动，可以由多次绕不同的单轴旋转运动来得到，例如上图中从 A A A系(即参考坐标系)到 B B B系(即本体坐标系)，可以通过先绕 A A A的 Z Z Z轴旋转得到 C C C系(图中未画出)，再绕 C C C系的 Y Y Y轴来旋转得到 B B B系(这里只是举例说明，也可以有其他的旋转方式)。那么， B B B系中的点在 A A A中的表示方式可为：
p A = A T C ⋅ p C p C = C T B ⋅ p B p A = A T C ⋅ C T B ⋅ p B = A T B ⋅ p B (2-2) \pmb p_A = ^A\pmb T_C\cdot\pmb p_C \\ \pmb p_C = ^C\pmb T_B\cdot\pmb p_B \\ \pmb p_A = ^A\pmb T_C \cdot^C\pmb T_B\cdot\pmb p_B = ^A\pmb T_B\cdot\pmb p_B\tag{2-2} pppA=ATTTC⋅pppCpppC=CTTTB⋅pppBpppA=ATTTC⋅CTTTB⋅pppB=ATTTB⋅pppB(2-2)
上式中， A T B = A T C ⋅ C T B ^A\pmb T_B = ^A\pmb T_C \cdot^C\pmb T_B ATTTB=ATTTC⋅CTTTB，表示从A系旋转到B系的旋转矩阵
总的来说，旋转运动是通过旋转矩阵来描述的。
2.3 一般运动
在上图中， B B B系可由 A A A系先旋转再平移得到，令 q b \pmb q_b qqqb表示 B B B系中 q q q点的坐标， q a \pmb q_a qqqa表示 q q q在 A A A系中的坐标，根据前两节的知识，有：
q a = p a b + A T B ⋅ q b (2-3) \pmb q_a = \pmb p_{ab} +^A\pmb T_B\cdot\pmb q_b \tag{2-3} qqqa=pppab+ATTTB⋅qqqb(2-3)
将上式表示成矩阵形式，有：
[ q a 1 ] = [ A T B p a b 0 1 ] [ q b 1 ] (2-4) \begin{bmatrix} \pmb q_a \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ^A\pmb T_B & \pmb p_{ab} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \pmb q_b \\ 1 \end{bmatrix} \tag{2-4} [qqqa1]=[ATTTB0pppab1][qqqb1](2-4)
即：
q ‾ a = a g ‾ b ⋅ q ‾ b (2-5) \overline{\pmb q}_a = ^a\overline{\pmb g}_b\cdot\overline{\pmb q}_b \tag{2-5} qqq
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
