一篇文章了解分治算法

最新推荐文章于 2024-11-27 07:00:00 发布

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分治算法

一、基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是 “分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如：
- 排序算法 (快速排序，归并排序)，傅立叶变换 (快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如：
- 对于 n个元素的排序问题，当 n = 1时，不需任何计算。n = 2时，只要作一次比较即可排好序。n = 3时只要作3次比较即可… 而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、基本思想及策略

分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略：对于一个规模为 n 的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模 n 较小）则直接解决，否则将其分解为 k 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成 k 个子问题，1 < k ≤ n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

三、分治法适用的情况

分治法 所能解决的问题一般具有以下几个特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四、分治法的基本步骤

分治法 在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

	Divide-and-Conquer(P)
	
	if |P| ≤ n0
	
	then return(ADHOC(P))
	
	将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
	
	for i←1 to k
	
	do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
	
	T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
	
	return(T)

其中 |P| 表示问题 P 的规模；n0 为一阈值，表示当问题 P 的规模不超过 n0 时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC§ 是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题 P。因此，当P的规模不超过 n0时直接用算法 ADHOC§ 求解。算法 MERGE(y1,y2,…,yk) 是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk 的相应的解 y1,y2,…,yk 合并为 P 的解。

五、分治法的复杂性分析

一个分治法将规模为 n 的问题分成 k 个规模为 n／m 的子问题去解。设分解阀值 n0 = 1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用 merge 将 k 个子问题的解合并为原问题的解需用 f(n) 个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为 |P| = n的问题所需的计算时间，则有：
Tn）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时 T(n) 的值，但是如果认为 T(n) 足够平滑，那么由 n 等于 m 的方幂时 T(n) 的值可以估计T (n) 的增长速度。通常假定 T(n) 是单调上升的，从而当 mi ≤ n < mi+1时，T(mi) ≤ T(n) < T(mi+1)。