青蛙跳阶问题

青蛙跳台阶

题目

青蛙一次只能跳 1级 或 2级，求跳到第 n 级台阶一共有多少种跳法。

核心逻辑（关键：逆向思考）

想站上第 n 级台阶，最后一步只存在两种可能性，没有别的情况：

1. 最后一跳跳 1级：说明在这一跳之前，青蛙已经站在第 n-1 级。前面所有到达 n-1 的走法，接上这一下跳1级，就都是到n阶的合法方案。方案数量 = 到达 n-1 的方案数。
2. 最后一跳跳 2级：说明在这一跳之前，青蛙已经站在第 n-2 级。前面所有到达 n-2 的走法，接上这一下跳2级，就都是到n阶的合法方案。方案数量 = 到达 n-2 的方案数。

所有方案不会重叠、不会漏掉。
所以递推式：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)

边界条件（基础情况，不能靠递推算，直接定义）

• f(1)=1：只有1级台阶，只能跳1次1级，1种方案
• f(2)=2：两种：①1+1 ②直接跳2级，2种方案

重点：递推式子长得一样，但初始值不一样，所以数列本身和标准斐波那契不是一回事。
标准斐波那契：F(1)=1，F(2)=1；青蛙跳：f(1)=1，f(2)=2。

两种实现思路

1. 递归

c

int f(int n)
{
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
return f(n-1)+f(n-2);
}

缺点：不断重复计算相同的f(k)，n大之后效率极低。

2. 迭代（循环，推荐）

从底层从小往大一步步算，只保存最近两个值，节省空间

c

int frog(int n)
{
if(n == 1) return 1;
if(n == 2) return 2;
int b = 1; // f(n-2)
int a = 2; // f(n-1)
int c;
for(int i = 3; i <= n; i++)
{
c= a + b;
b = a;
a = c;
}
return a;
}

扩展变种：青蛙可以跳1~n任意阶

逆向推导：到n阶，最后一步可以从 n-1 / n-2 / … /0 直接跳上来
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)

到n阶的全部走法 = 到n-1阶所有走法 + 到n-2阶所有走法，边界单独定死，不要直接套用斐波那契的初始条件。

如果每次跳的是偶数格，则n为奇数是都为0。
但是每次跳奇数格，就没限制。
最重要就是看原理公式和找到特殊项