莫比乌斯反演

摘自ACdreamers的博客

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莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论

 

     

 

在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：

 

    （1）若，那么

    （2）若，均为互异素数，那么

    （3）其它情况下

 

 

对于函数，它有如下的常见性质：

 

    （1）对任意正整数有

  

                            

 

        （2）对任意正整数有

 

         

 

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

bool vis[maxn];
int mu[maxn], prime[maxn];

void init()
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < cnt && i*prime[j] < maxn; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}