2017 Multi-University Training Contest - Team 1 1006 Function(思维循环节)

最新推荐文章于 2020-05-03 14:33:20 发布

原创最新推荐文章于 2020-05-03 14:33:20 发布 · 836 阅读

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本文解析了一道关于函数关系计数的问题，给出了详细的官方题解，并通过分析置换的循环节来解决该问题。最终提供了O(n+m)时间复杂度的代码实现。

题意：给你一个序列a，是0到n-1的一个排列，给你一个序列b，是0到m-1的一个排列，问你有多少种不同的函数关系满足：f[i] = b[f[a[i]]] (0 < i < n).

官方题解：考虑置换 $a$ 的一个循环节，长度为 $l$ ，那么有 $f(i) = b_{f(a_i)} = b_{b_{f(a_{a_i})}} = \underbrace{b_{\cdots b_{f(i)}}}_{l\text{ times }b}$ 。

那么 $f (i)$ 的值在置换 $b$ 中所在的循环节的长度必须为 $l$ 的因数。

而如果 $f (i)$ 的值确定下来了，这个循环节的另外 $l - 1$ 个数的函数值也都确定下来了。

答案就是 $\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j | l_i} {j \cdot cal_j}$ 改为 $\prod_{i = 1}^{k} \sum_{j | l_i} {j \cdot cal_j}$ ，其中 $k$ 是置换 $a$ 中循环节的个数， $l_i$ 表示置换 $a$ 中第 $i$ 个循环节的长度， $cal_j$ 表示置换 $b$ 中长度为 $j$ 的循环节的个数。

时间复杂度是 O(n + m) 。

官方的题解有些乱码。。。。可以参考帅神的博客：点击打开链接

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e6+5;
int a[maxn], b[maxn];
int n, m;
bool visA[maxn], visB[maxn];
int numA[maxn], numB[maxn];

int main(void)
{
    int ca = 1;
    while(cin >> n >> m)
    {
        memset(numA, 0, sizeof(numA));
        memset(numB, 0, sizeof(numB));
        memset(visA, 0, sizeof(visA));
        memset(visB, 0, sizeof(visB));
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        for(int i = 0; i < m; i++)
            scanf("%d", &b[i]);
        int cntA = 0, cntB = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            int len = 0;
            int tmp = i;
            while(!visA[tmp])
            {
                len++;
                visA[tmp] = 1;
                tmp = a[tmp];
            }
            if(len)
                numA[cntA++] = len;
        }
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            int len = 0;
            int tmp = i;
            while(!visB[tmp])
            {
                len++;
                visB[tmp] = 1;
                tmp = b[tmp];
            }
            if(len) numB[len]++;
        }
        ll ans = 1;
        for(int i = 0; i < cntA; i++)
        {
            ll tmp = 0;
            for(int j = 1; j*j <= numA[i]; j++)
            {
                if(numA[i]%j == 0)
                {
                    if(j*j == numA[i])
                        tmp += numB[j]*j;
                    else
                        tmp += numB[j]*j+numB[numA[i]/j]*numA[i]/j;
                }
            }
            ans = ans*tmp%mod;
        }
        printf("Case #%d: %lld\n", ca++, ans);
    }
    return 0;
}