威佐夫博弈

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威佐夫博奕（Wythoff Game）

定义：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

思考：

把两堆石子的集合写为（a，b）不失一般性令我们只考虑a<=b的情况;

我们依次考虑（0，0）-（0，*）……（n，n）-（n，*）的情况。把所有状态看成一个二维数组，我们只需考虑上三角的情况；

（0，0）必败点，故（0，*）为必胜点；（1，1）一步可以取完，故也为必胜点；

（1，2）无论怎样取都只能到达必胜点，所以（1，2）为必败点；

（1，*）（2，*）可一步到达（1，2），故其都为必胜点；

此时我们发现一些规律，只有一些特殊的点是必败点，其余大多数情况为必胜点，再次我们不妨称必败点为“奇异局势”，这个定义我们在以后的学习中还可用到；

当（0，*）（1，*）（2，*）都考虑完后，开始考虑（3，*）；（3，3）显然可一次取完为必胜点，（3，4）可以减（2，2）到达（1，2），所以也为必胜点；这里我们可以看到一个特点，如果a，b之差等于上述所提到“奇异局势”两堆石子之差时，则（a，b）-（m，m）是可以到达上述情况的，所以凡是后面要找到的点a，b，之差不能等于前面所找到的奇异局势；这时我们发现（3，5）为奇异局势；同理，（3，*）和（5，*）都为必胜点了，和上次推导一样（4，4）（4，5）（4，6）都为必胜点（4，7）为我们要找的奇异局势；（4，*）（7，*）必胜；（6，*）这一行还会有一个奇异局势，我们找到它是（6，10），相差为4；

此时，我们一经发现了一个规律，第i个奇异局势a，b之差为i，如果字典顺序寻找，则（a，b）中的a，为之前奇异局势中未出现的最小的自然数；写到这，你或许可以编程解决一些这样的问题了吧，但这貌似还是有点麻烦，没关系，数学家已经给出了我们a的通项公式（如要了解推导过程可自行查阅资料，这里不作为重点讨论），即ai=[i*（1+√5）/2]（方括表示下取整），bi=ai+i，。