关于卡塔兰数的问题

今天看了关于catalan的两个题目：
其中一个是：leetcode 96. 不同的二叉搜索树
另外一个是：一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…n,有多少个不同的出栈序列?
关于卡特兰数的百度百科：
catalan
卡特兰数

下面分析一下栈的问题：

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

  f(1) = 1     //即 1

  f(2) = 2     //即 12、21

  f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置

分析：

1. 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
2. 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；
3. 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，
   根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；
4. 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即f(3)；

结合所有情况，即：

f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3)

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0) 

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即：