线性方程组直接解法的误差分析

线性方程组的直接解法参考： 线性方程组的直接解法

​病态方程组

由于计算机舍入误差，在求解方程组$Ax=b$时总会有误差，实际上是在求解$(A+\delta A)(x+\delta x)=b+\delta b$
有时方程组的解对于系数矩阵和右端向量的扰动非常敏感，此时称为病态方程组

矩阵范数

一个线性映射$A：X\to Y$称为有界的，是指存在常数$C>0,s.t.\forall x\in X,||Ax|{|}_Y\le C||x|{|}_X$,对于有界线性算子$A$可以定义：$||A||:=su{p}_{||x|{|}_X=1}||Ax|{|}_Y<+\infty$ 为算子$A$的范数

可以证明

矩阵条件数

讨论加入扰动后方程可解性：$A+\delta A=A(I+A^{-1}\delta A)$

引理：
若$||B||<1$，则$I\pm B$可逆，且$(I\pm B{)}^{-1}\le \frac{1}{1-||B||}$

证明：反证法

定理：
设$detA\ne 0,b\ne 0,||A^{-1}||||\delta A||<-1$,则有
$\frac{||\delta x||}{||x||}\le 1-||A||||A^{-1}||$