中国矿业大学——算法——最优分解

题目描述

设n是一个正整数。现在要求将n分解为若干互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

输入

输入一个正整数n。

输出

输出计算得出的最大乘积。

样例输入

10

样例输出

30

   分析：整数的一个性质：若 a + b =N(常数)，则| a - b |越小， a * b 越大     

分析： N为整数相加之和 常数不变 （a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab =n^2 --------> ab=(n^2 -(a-b)^2)/4; 所以若a+b=常数 ，则a-b的绝对值越小，ab值越大 经过分析可知： 当n<3时 即n=1 ,2 最优分解为0，n 最大乘积值为 0 当n=3，4 时 最优分解为 1，n-1 最大乘积值为 2,3 当n>=5时 可以看出 无论分解成 (0 n) (1,n-1）乘积都是小于自身的值 所以从2开始分解 又因为若a+b=常数 ，则a-b的绝对值越小，a*b值越大。所以分解的 值越集中越好 加上分解为若干互不相同 所以最优分解为从2开始连续的自然数最好 最终分解剩余了一个余数 从分解的最后项 依次加1 即可（这样乘积中大的数会更大，总的乘积会更大）

思路： 因为要使乘积最大，所以要尽量分解为相似大小的数。 分解时，因数从2开始，每次加1，n=n-a[i]，保证剩下的数比下一次的数大。

例如： 分解13 分解为 2 3 4 ，还剩下 4 ，不够继续分解的下一个数"5"，就把 4 依次分配给前面的因子， 分配顺序是 4 => 3 => 2 。所以最终结果为 3 4 6，这就是最大乘积的因子。 （分配顺序为从大到小，如果还剩下，就继续
 

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100];
int main()
{
    int n,i,j;
    int sum=1;    
    a[0]=2;
    cin>>n;
    i=1;
    n-=a[0];
 
    while(n>a[i-1]) //最初分配的因子
    {
        a[i]=a[i-1]+1;
        n-=a[i];
        i++;
    }
 
    while(n>0)  //剩下的数依次减一，加在已分配好的因子上
    {
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            a[i-j-1]++;//从最大的数开始加
            n--;
            if(n==0)
                break;  
        }
    }
 
    j=0;
    while(a[j])   //求最终的乘积
    {
        sum*=a[j];
        j++;
    }
    cout<<sum;
}