Sicily 1099. Packing Passengers【最大公约数】

最新推荐文章于 2015-12-28 11:20:00 发布

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数学与数论

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本文介绍了一种解决飞机调度问题的算法，通过数学方法找到最优的飞机数量分配方案以达到最低成本。文章详细解释了如何利用扩展欧几里得算法求解特解，并通过判断两种机型的成本效益比来确定最佳参数。

题目链接在此

遍历肯定超时！！！

转自这位大神

以下是自己的理解与注释：

1.设

（1）pA:每架A飞机能载的人数，cA:每架A飞机的开销，nA：A飞机的数量

（2）pB:每架B飞机能载的人数，cB:每架B飞机的开销，nB：B飞机的数量

（3）S:总人数，T：总开销

则有：

【1】S =pA * nA + pB * nB

【2】T = cA* nA + cB * nB

求满足【1】的T的最小值（若有多个最小值则取nA 最大的那种情况）

2.找nA和nB的通解。

【1】求gcd(pA,pB)=q，若S不能被q整除，则肯定无解。

【2】若能整除，求nA和nB的特解A0和B0，使得pA *A0+ pB * B0= S

【3】先求a0和b0，使得pA * a0+ pB * b0 = q

【4】则A0=S/q*a0，B0=S/q* b0

【5】nA = A0 + pB / q * t，nB = B0 - pA / q * t，其中t为参数

由nA>=0，nB>=0，得出 -A / (pB / q) <= t <= B / (pA / q)

3.比较性价比cA/pA<cB/pB就是比较cA*pB<cB*pA，若cA*pB<=cB*pA，则nA越大越好，即t越大越好；若cA*pB>cB*pA，则nB越大越好，即t越小越好。

#include <stdio.h>  
#include <cmath>

#pragma warning(disable:4996)
using namespace std;

  //  求a和b的最大公约数gcd, 以及x和y，使得ax+by=gcd
void exEuclid(long long a, long long b, long long& x, long long& y, long long& gcd) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		gcd = a;
	}
	else {
		exEuclid(b, a % b, y, x, gcd);
		y -= a / b * x;
	}
}

int GCD(int a, int b) {  //  模板：辗转相除法求最大公约数
	if (b == 0)
		return a;
	else
		GCD(b, a % b);
}

int main() {
	long long S, cA, pA, cB, pB;
	long long nA, nB, gcd;
	int t;
	int testNum = 0;

	while (scanf("%lld", &S) && S) {
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &cA, &pA, &cB, &pB);

		exEuclid(pA, pB, nA, nB, gcd);

		if (S % gcd != 0)
			printf("Data set %d: cannot be flown\n", ++testNum);
		else {
			nA *= S / gcd;
			nB *= S / gcd;
			if (cA * pB - cB * pA <= 0)
				t = floor((double) nB / (pA / gcd));
			else
				t = ceil((double)- nA / (pB / gcd));
			nA += pB / gcd * t;
			nB -= pA / gcd * t;
			printf("Data set %d: %lld aircraft A, %lld aircraft B\n", ++testNum, nA, nB);
		}
	}

	return 0;
}