数字电路中的除法与求余

数字电路中的除法与求余

一、硬件除法器的技术路线

1. 移位-减法类（digit recurrence，逐位产生商）

最直观的实现，即二进制长除法：

• 恢复余数法（restoring） ：余数左移 → 减除数 → 若为负则加回（恢复）并置商位 0，否则置 1。

• 不恢复余数法（non-restoring） ：不再"加回"，而是根据当前余数符号决定下一位加还是减，省掉恢复步骤。

• SRT 除法（Sweeney–Robertson–Tocher，现代 CPU 整数除的主力）：

  • 核心思想：允许商的"数字"取冗余值域（radix-4 时取 {−2,−1,0,1,2}\{-2,-1,0,1,2\}{−2,−1,0,1,2}），只看余数与除数的最高几位即可查表选出商数字，不必做完整比较；
  • 余数用 CSA（进位保留加法器） 保持冗余形式，每轮不传播进位，缩短迭代关键路径；
  • 末端需要余数校正（余数可能为负）与在线商转换（把冗余商转成标准二进制），这部分控制逻辑在小位宽下是面积大头。

代价：radix-2 每周期出 1 位商（N 位需 N 周期），radix-4 出 2 位（约 N/2 周期），radix-8/16 更少但需预缩放。典型整数除法器是非流水的：延迟几十周期、吞吐约每 20~30 周期一次——这正是除法拖慢性能的原因。

2. 乘法迭代类（multiplicative / functional iteration）

把除法变成"求倒数 + 一次乘法"，用乘法器 / 融合乘加（FMA）完成：

• Newton–Raphson：$x_{n+1}=x_n(2-D{x}_n)$，平方收敛，每轮有效位数翻倍。需要小 LUT/ROM 给出 8_{12 位初值，再迭代 3}5 次。
• Goldschmidt：分子分母同乘校正因子 $R_n$，每轮两次乘法且可并行，部分 GPU 采用。

优点：复用已有的 FMA / 乘法器，面积增量小、可流水、吞吐高，适合浮点除法。
缺点：IEEE-754 要求的正确舍入需额外精度与收尾逻辑，是复杂度激增之处。

3. 预计算约简（面向模运算 / 密码学）

• Barrett 约简：预先算 $\mu =\lfloor b^{2k}/m\rfloor$，用乘法和移位估算商，避免真正的除法，适合偶发的模约简。
• Montgomery 乘法：转到 Montgomery 域后，约简只需 k 次"乘-加-移位"迭代，完全不需要除以 m（只除以基数，即移位），是 RSA/ECC 硬件的主流。

4. 查表类

位宽很小（如 ≤8 位）或只需要倒数初值时，直接 LUT/ROM 查表可能比逻辑更省面积。

二、求余（mod）怎么来

• 通用情况：余数就是除法器的第二个输出，几乎不额外花面积（需处理符号语义：C/Verilog 中余数符号跟随被除数，属"截断除法"，硬件只在末位调整）。
• 模 $2^n$：直接取低 n 位，零成本。
• 模 **$2^n-1$**​ （梅森数） ：折叠相加 + 端回进位（end-around carry），如 mod 255 即把各字节相加再折回。
• 常量除数：用"魔数"强度削减，把 x / d​、x % d 变成"乘常量 + 右移"。
• 计数器取模 N：无需除法器，用"累加器 + 比较器 + 减法"（到 N 就减 N）即可，一个加法器搞定。DDS/NCO 分频常用。

三、面积与延迟量级对比

方案	面积	延迟 / 吞吐	典型用途
移位-减法 radix-2（串行）	小～中（N 位加法器 + 移位 + 控制）	N 周期，无流水	面积敏感 MCU、软核
SRT radix-4 + CSA	中（商选择 LUT + CSA + 末端校正）	约 N/2 周期，非流水	CPU 整数除
Newton / Goldschmidt	复用 FMA，附加 LUT + 收尾逻辑	长延迟、可流水、高吞吐	浮点除、GPU
Barrett / Montgomery	以乘法器为主	可流水、高吞吐	RSA / ECC
常量除数 / $2^n$	≈ 0	1 周期（移位 / 位掩码）	编译器、地址对齐
计数器 mod N	一个加法器 + 比较器	1 周期	分频、NCO

补充：除法在"单位面积能提供的吞吐"这一指标上最差，往往不如同宽度的并行乘法器划算——乘法面积大，但延迟固定、可流水线化，而除法的迭代特性使其难以流水线化。不过它并非"面积一定比乘法器大"：SRT 的主体是加法器/CSA，面积常与乘法器相当甚至更小，真正吃亏的是延迟与吞吐。另外，小位宽时控制逻辑（商选择、余数校正、商格式转换、前导零检测 LZD）反而占主导。

四、常量除数（非 $2^n$）专题

1. 硬件上发生什么

除数是常量 $d$ 时，硬件不做除法，而是走"乘倒数 + 移位"：

$$x/d\approx (x\cdot m)\gg s,x\mathrm{mod}d=x-(x/d)\cdot d$$

其中魔数 $m$ 与移位量 $s$ 在编译/综合期算好并固化。对应硬件只有三件事：

1. 一个 "乘以常量"的乘法器；
2. 一个常量移位（接线，免费）；
3. 求余时再一步 $x-q\cdot d$（$d$ 是常量，$q\cdot d$ 只是几个移位相加）。

经典例子（32 位无符号）：

// x / 10 : 魔数 0xCCCCCCCD，取高 32 位后再右移 3
wire [31:0] q10 = (x * 32'hCCCCCCCD) >> 35;   // 综合成 mulhi + 常量移位
// x % 10 : x - q*10 = x - (q<<3) - (q<<1)
wire [31:0] r10 = x - (q10 << 3) - (q10 << 1);

// 反例：除数运行时可变，魔数无法固化 → 退回真除法器
wire [31:0] q = x / d;   // d 非 localparam，必然例化除法器

这是常量乘法而非通用乘法，部分积都是 $x$ 的移位副本或纯常量，没有真正的乘法阵列——这才是它便宜的原因。

2. 成本随除数"形态"变化

除数形态	面积	延迟	说明
$2^n$	≈ 0	0	纯接线（移位 / 取位）
$2^n\pm 1$	1 个加法器	1 级加法	$x\ll n\pm x$，取模还能用折叠
popcount 小（如 3、5、10、100）	很小	1~2 级加法	部分积项少，$q\cdot d$ 也少
一般常量（如 0x9E3779B1）	接近通用乘法器	约 $\log (\text{项数})$ 级加法	魔数接近满位宽，部分积项多
需要"加 x 修正"的除数	再多一个加法器	+1 级加法	见下

关键细节：

• 魔数常量的位密度（popcount）决定面积。魔数一般接近 $2^N$、并不稀疏，所以常量乘法器面积约为同宽度通用乘法器的几分之一到接近，但仍远小于完整 SRT 除法器（含商选择 LUT、CSA、末位校正、在线商转换、前导零检测）。
• 部分除数需要额外修正。只做"乘 + 移位"对某些 $d$ 会有 $\pm 1$ 误差，需再插一个"加 $x$ 再移位"（Hacker’s Delight 中的 add-indicator）。例如 32 位除 7：

// x / 7 : t = mulhi(x, 0x24924925); q = (t + ((x - t) >> 1)) >> 2

• 求余几乎不额外花钱：$d$ 是常量，$q\cdot d$ 就是 $q$ 的几个移位相加，一个小的加法树 + 一个减法器。若 $d$ 的 popcount 小（如 10 = 1010，仅 2 项），这一级几乎是白送。
• 临界路径 = 常量乘法加法树 → 常量移位 →（求余时）乘减链，深度约几级加法器。综合后单周期可能跑不到高频，但插流水寄存器后即 1 结果/周期——这正是相对除法器的最大优势。

3. 横向对比

方案	面积量级	延迟	吞吐
通用 SRT 除法器	中（加法器/CSA + 控制）	N ~ N/2 周期	非流水，极低
常量除数 = $2^n$	0	0	1/周期
常量除数 = $2^n\pm 1$	1 加法器	1 级加法	1/周期
常量除数（一般，魔数）	1 个常量乘法器 + 修正	几级加法，可流水	1/周期
通用乘法器	$O(N^2)$ 级	约 $\log N$ 级	1/周期

直观结论：常量除数把"迭代型、非流水、低吞吐"的除法变成"组合型、可流水、全吞吐"的乘法，因此面积小、延迟低、吞吐高；它不是"零成本"，但性价比远高于真除法器。

五、工程建议

1. 优先消灭除法：除数能取 $2^n$ 就取（移位/掩码）；是常量就交给综合器做强度削减（Verilog 里对常量 /​、% 一般能自动优化，但务必看综合报告确认没例化除法器）。
2. 除数必须是编译期常量：只要它运行时可变（哪怕只是配置寄存器），魔数就无法固化，会退回真除法器或倒数 LUT + 迭代，成本立刻上一个量级。
3. 精确性要自己保证：(x*m)>>s 的取整方式、是否需要 add 修正、有符号/无符号语义、以及余数符号（跟随被除数）都要按 Hacker’s Delight 的结论来，不要自行取 $\lceil 2^k/d\rceil$，会 off-by-one。
4. 需要精确商 + 要吞吐：做流水线化 SRT（radix-4/8，余数保持 CSA 冗余形式）。
5. 面积紧 + 吞吐低：用位串行除法器（如 Xilinx Divider Generator 的 radix-2 无流水配置、Altera lpm_divide​），或全芯片分时共享一个除法器。
6. 浮点：单独做除法器不划算，复用 FMA + 小 LUT 初值走 Newton 迭代。
7. 密码学大数模乘：用 Montgomery，而不是 Barrett 再配合除法。
8. 位宽很小（≤8 位） ：先评估 LUT/ROM 方案。
9. 不要忘记 LZD/归一化、末端余数校正、冗余商转换这些"零碎"逻辑——它们常是小位宽除法器真正的面积来源。

参考

• Hacker’s Delight（常量除法 / 魔数生成）
• IEEE-754（浮点除法的正确舍入要求）