When Operations Research meets Structual Pattern Recognition 2019

4.2 图数据库

实验使用的数据库名称	描述
MUTA	全称mutagenicity,一共有4337个图，该图为无向图，并且顶点和边是有属性的。“突变”数据库中的图是化学分子的建模。在实验中，为了简化实验，减少比对的图的个数，从4337个图中抽样选取图分析。将抽样的图分成8个小组，除了最后一个小组外，每个小组图的顶点个数范围在10和70之间，并且每个小组都有是个图，第8个小组也有10个图，但是图顶点的大小是固定的 这个数据库中的图都是大图（顶点个数为50,60,70）数据库中需要比较的图的实例为800组，代价函数的定义如下：
PAH	一共有94个图，对化学分子建模。每个图是无向图并且无属性的。每组图之间是比对的实例，共有8846组实例。比对的代价函数定义如下：
CMU-HOUSE	111个图，每个图代表了一个房间在不同角度的3D建模的图。每个图有30个顶点，但是每张图都代表的是同一个房间，不同的原因是旋转了房间的角度。每个图是有属性图，顶点的属性使用“Shape Context”的特征向量表示，边属性表示俩个入射点（incident vertices）的距离。该数据库提供了所有图对之间的真实匹配。因为这个数据库在图匹配领域应用广泛，因此代价函数分为三种：House-NA、House-A、House-REF,具体代价见表格后阐述。 House_NA: House_A: House_Ref:
CMU-HOTEL	共101个图，和CMU-House相似，使用代价函数相同，不同之处这些图使用3D图像模拟酒店
PALMPRINT	对人的手掌进行建模，含有160个图。每个图的顶点个数大于800个，边2000个左右。每个图是属性图，表现在顶点有属性：每个顶点存储了图像的坐标，角度，类型等等，代价函数定义如下：。
VOC-CAR	对图像中的汽车进行建模，属性图。边的属性：俩个顶点之间的距离$d_e$和俩个顶点之间的角度${\theta }_f$ ，代价函数如下：
VOC-BIKE	440个无向。属性图，建模对象为自行车，代价函数上图所示。
PROTEIN	600个图，无向，有属性。顶点属性:类型、序列、序列长度；边属性：频次、一种类型或者多种类型、边的距离。举例：[$freq:1,type0:1,distance0:17.1,type1:1,distance1:4.2....$] 代价函数如下：
SYNTETHIC	人工合成数据集，优点是可以控制图的密度（图中边个数和完全图边的占比）。图密度距离：如果一个图30个顶点，那么10%密度的图有多少条边？计算完全图边的个数为435条边，那么10%密度的图有43.5条边。人工生成30,100个顶点的数据集标记为：SYNTHETIC-30,SYNTHETIC-100。合成数据的目的是造出中等（30-70）和大规模（70个顶点）的图，并且在不同的GED的方法中应用这些数据，决定使用什么样的数据会使得GED的算法运行更加流畅。代价函数定义如下：

1. 如何判断图数据库中的图是密集图还是非密集图？
   答：如果边密度density>10，是密集图，否则是非密集图。下面是几种数据库中边密度。

图数据库名称	密度占比%
CMU	18.00
PROTEIN	16.00
VOC	13.47
PAH	12.22
MUTA	9.13
PALMPRINT	0.77

图数据库中图格式：

在进行俩个图之间顶点的比较时候，可以考虑到顶点的属性的值。通过考虑到属性值，来定义俩个顶点的相似程度，具体方法为：若顶点的属性可以表示成数值，可以使用L2范式（向量元素绝对值的平方和再开方）或者欧几里得距离（俩个不一样吗？ 来源：P48页）定义顶点的相似；如果属性不是数值性，可以把其转变为数值型进行计算。

A*算法[Hart et al 1968]：
输入：
G1(V1 ,E1,${\mu }_1$,${\xi }_1$) G2(V2,E2,${\mu }_2$,${\xi }_2$)
输出：
pmin={u1−>v3,u2−>ϵ,.......,ϵ−>v6}p_{min}=\{u_{1}->v_{3},u_{2}->{\epsilon },.......,{\epsilon}->{v_{6}}\}pmin​={u1​−>v3​,u2​−>ϵ,.......,ϵ−>v6​}返回的是将G1通过编辑路径转变为G2的最佳路径，集合里面存放的是编辑操作

初始化集合OPEN为空集合，先存放有待考察的编辑操作P。在A*路径搜索算法中，构造一棵树，树的第0层为空节点，第一层节点表示图G1中一个顶点映射到G2中任何顶点的编辑操作（包括空操作），比如替换、删除操作等。符号化记录为OPEN={u1−>w}OPEN=\{u_{1}->w\}OPEN={u1​−>w}其中w表示G2中的顶点或者空点;算法目的是从OPEN中选择cost§最小的节点（一个操作）到集合P_{min}.而考察P是否最小的关键在于使用$cost(p)=g(p)+h(p)$进行评估。$g(p)$表示从根（空节点）到当前节点（节点中表示操作）的实际代价，$h(p)$表示从当前节点到目标节点的启发式估计（下面补充）。

循环开始：
	从OPEN集合中选取代价最小的操作到P_{min}
	如果最小操作集合P_{min}中已经有了从G1到G2的完整路径，
		那么算法结束返回P_{min}
	否则
		令P_{min}中存放继续存放最小的编辑操作
		若编辑操作数量小于G1中顶点数量
			将下一个顶点（u_{k+1}->w）的编辑操作（包括删除）插入到OPEN中，
			w表示G2中未处理的顶点
		否则
			OPEN集合中增加插入操作 $(空顶点 ->w)$
循环结束

补充：
A*算法中的节点p（表示一个编辑操作，也可以用映射符号$f$表示）的启发式估计$\hat{h}$必须比实际的要小。计算启发式估计的方法如下：
1 计算图G1和G2中未处理的顶点个数$n_1,n_2$。选择未处理的顶点个数中较小的个数作为代价矩阵的维度，这个代价矩阵是方阵。构建代价矩阵的目的是为了进行最佳分配，节点的最佳分配的代价记为$assig{n}_s$
2 对于未在方阵中的顶点（比如应该构建（2,3）维度矩阵，但是为了构建方阵删除了其中一列）则这一列的代价记为$max(0,n_1-n_2)$,否则记录为$max(0,n_2-n_1)$
因此启发式估计代价就是上面两种成本的加和。