01背包问题

最新推荐文章于 2024-06-17 00:06:23 发布

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本文详细解析了01背包问题的解决方法，包括简单的递归算法、带记忆化的搜索算法及动态规划算法，并通过示例代码说明每种方法的具体实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

01背包问题：

有n个重量和价值分别为wi,vi的物品。从这些物品中挑出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值

记忆化搜索与动态规划：

先来看看单纯的递归是怎么写的

int func1(int i,int n,int lastWight)
{

   if(i==n) return 0;
   if(lastWight<W[i])
       reutrn func(i+1,n,lastWight);//放不下第i个物品
   else
      return max(func(i+1,n,lastWight),func(i+1,n,lastWight-W[i])+V[i]);

//可要可不要时，取出两个中的最大值。
}

我们可以知道，在递归调用的过程中有的函数式被重复调用，而它的返回的结果是一样的。所以可以用数组来进行记忆。

int dp[MAX][MAX];
int func2(int i,int n,int lastWight)
{
   if(dp[i][lastWight]!=-1) return dp[i][lastWight];
   //如果这个函数之前已经被调用过了，就可以直接返回。
   int res;
   if(i==n)
   {
       res=0;
   }
   else if(lastWight<W[i])
   {
       res=func(i+1,n,lastWight);
   }
   else
   res=max(func(i+1,n,lastWight),func(i+1,n,lastWight-W[i])+V[i]);
   dp[i][lastWight]=res;//记下来。
   return res;
}

我们把要求结果范围内的所有情况都求出来直接用数组进行推导

动态规划：

int func3()
{
   int i,j;
   for(j=0;j<W;j++)
   dp[0][j]=0;
   for(i=0;i<n;i++)
   {
       for(j=0;j<=W;j++) //w是背包能盛物品最大的重量。
       {
           if(j<W[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j];//表示不能盛下。
           else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-W[i]]+V[i]); //表示把第i个物品选了。
       }
   }
   return dp[n][W];
}