01背包问题（动态规划DP）

最新推荐文章于 2025-05-19 14:56:25 发布

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#动态规划DP #挑战程序设计竞赛第二版 #背包问题

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本文详细介绍了01背包问题的解决方法，包括递归、记忆化搜索及多种递推写法，并提供了具体示例帮助理解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题

01背包问题

有n个重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

1<=n<=100

1<=wi,vi<=100

1<=W<=10000

样例输入

n=4

(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}

W=5

样例输出

7（选择0、1、3号物品）

代码

递归写法（记忆化搜索）

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//记忆化数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
//从第i个物品开始挑选总重小于j的部分
int rec(int i,int j)
{
    if(dp[i][j]>=0)
    {
        return dp[i][j];
    }
    int res;
    if(i==n)
    {
        //没有剩余物品
        res=0;
    }
    else if(j<w[i])
    {
        //无法挑选这个物品
        res=rec(i+1,j);
    }
    else
    {
        //不挑选和挑选两种情况都尝试一下
        res=max(rec(i+1,j),rec(i+1,j-w[i])+v[i]);
    }
    return dp[i][j]=res;
}
void solve()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    printf("%d\n",rec(0,W));
}

递推写法（逆向进行）

dp[i][j]定义为从第i个物品开始挑选总重小于j的部分

dp[n][j]=0

dp[i][j]= dp[i+1][j] (j<w[i])

dp[i][j]= max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]) (j>=w[i])

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    for(int j=0;j<=W;j++)
    {
        dp[n][j]=0;
    }
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j<w[i])
            {
                dp[i][j]=dp[i+1][j];
            }
            else 
            {
                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][W]);
}

递推写法（正向进行）

dp[i+1][j]定义为从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值

dp[0][j]=0

dp[i+1][j]=dp[i][j] (j<w[i])

dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]) (j>=w[i])

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    for(int j=0;j<=W;j++)
    {
        dp[0][j]=0;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j<w[i])
            {
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            }
            else 
            {
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

状态转移

从“前i个物品中选取总重不超过j时的状态”向“前i+1个物品中选取总重不超过j”和“前i+1个物品中选取总重不超过j+w[i]时的状态”的转移。

int n,W;
int w[MAX_N],v[MAX_N]
//DP数组
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];
void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]);
            if(j+w[i]<=W)
            {
                dp[i+1][j+w[i]]=max(dp[i+1][j+w[i]],dp[i][j]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][W]);
}

注：文章内容源于《挑战程序设计竞赛》（第二版）