代码随想录算法训练营第54天 | 392.判断子序列 ， 115.不同的子序列

动态规划章节理论基础：

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392.判断子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/

这道题应该算是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。

思路：

动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

（2）确定递归公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

if (s[i - 1] == t[j - 1])
t中找到了一个字符在s中也出现了
if (s[i - 1] != t[j - 1])
相当于t要删除元素，继续匹配
if (s[i - 1] = = t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）

if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

（3）dp数组初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。初始为0。

（4）确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

（5）举例推导dp数组
以示例一为例，输入：s = “abc”, t = “ahbgdc”，dp状态转移图如下：

代码：

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int m = s.length();
        int n = t.length();
        //dp[i][j] 表示0~i-1, 0~j-1下标，子序列的长度
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                char c1 = s.charAt(i-1);
                char c2 = t.charAt(j-1);
                if(c1 == c2)    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];  // 把当前字符给删掉
            }
           
        }
        if(dp[m][n] == m)   return true;
        return false;
    }
}

115.不同的子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/distinct-subsequences/

思路：

本题相对于刚刚的动态规划：300.最长递增子序列最大的区别在于“连续”。

本题要求的是最长连续递增序列。

动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

（2）确定递归公式
这一类问题，基本是要分析两种情况
s[i - 1] 与 t[j - 1]相等 和 s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等。

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

（3）dp数组初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

（4）确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右。

（5）举例推导dp数组
以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

代码：

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m = s.length();
        int n = t.length();
        // 以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        // 初始化dp[i][0] 和 dp[0][j]
        for(int i=0;i<=m;i++)   dp[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=n;j++)   dp[0][j] = 0;
        
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                char c1 = s.charAt(i-1);
                char c2 = t.charAt(j-1);
                if(c1 == c2){
                    // 用当前字符，和不用当前字符
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+ dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}