【机器学习】Logistic Regression 的前世今生（理论篇）

版权声明：如需转载，请附上本文链接。作者主页：http://blog.youkuaiyun.com/cyh_24    https://blog.youkuaiyun.com/cyh24/article/details/50359055
Logistic Regression 的前世今生（理论篇）
本博客仅为作者记录笔记之用，不免有很多细节不对之处。

还望各位看官能够见谅，欢迎批评指正。

博客虽水，然亦博主之苦劳也。

如需转载，请附上本文链接，不甚感激！ 
http://blog.youkuaiyun.com/cyh_24/article/details/50359055

写这篇博客的动力是源于看到了下面这篇微博：

我在看到这篇微博的时候大为触动，因为，如果是rickjin来面试我，我想我会死的很惨，因为他问的问题我基本都回答不上来。所以，痛定思痛，我决定今后对一些算法的理解不能只是停留在表面，而应该至少往前推一步，尝试看得更远一些。 
对于学习机器学习的人来说，Logistic Regression可以说是一个入门的算法，算法本身不复杂，不过也正是因为这个原因，很多人往往忽略了这个算法的一些内在精髓。

这篇博客里，我打算就rickjin问的一些问题，进行总结：

1. LR原理 
2. LR的求解数学推导 
3. LR的正则化 
4. 为什么LR能比线性回归好？ 
5. LR与MaxEnt的关系 
6. 并行化的LR

逻辑回归模型
虽然逻辑回归 姓 回归，不过其实它的真实身份是二分类器。介绍完了姓，我们来介绍一下它的名字，逻辑斯蒂。这个名字来源于逻辑斯蒂分布：

逻辑斯蒂分布
设X是连续随机变量，X服从逻辑斯蒂分布是指X具有下列的分布函数和密度函数： 
F(x)=P(X≤x)=11+e−(x−μ)/γ
F(x)=P(X≤x)=11+e−(x−μ)/γ
f(x)=F′(X≤x)=e−(x−μ)/γγ(1+e−(x−μ)/γ)2
f(x)=F′(X≤x)=e−(x−μ)/γγ(1+e−(x−μ)/γ)2
上式中，μμ 表示位置参数，γ>0γ>0 为形状参数。
有没有发现F(x)F(x)是啥？有图你就知道真相了：

有没有发现右边很熟悉？没错，就是sigmoid 曲线，只不过，这个曲线是以点( μμ, 1212) 为中心对称。从图中可以看出，曲线在中心附近增长速度较快，而形状参数 γγ 值越小，曲线在中心附近增长越快，请自行脑补一下。

二项逻辑回归模型
之前说到，逻辑回归是一种二分类模型，由条件概率分布P(Y|X)P(Y|X) 表示，形式就是参数化的逻辑斯蒂分布。这里的自变量XX取值为实数，而因变量YY为0或者1。二项LR的条件概率如下： 
P(Y=1|x)==ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=1|x)==ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=0|x)==11+ew⋅x
P(Y=0|x)==11+ew⋅x
一个事件的几率（odds）：指该事件发生与不发生的概率比值，若事件发生概率为pp，那么事件发生的几率就是
odds=p1−p
odds=p1−p
那么该事件的对数几率（log odds或者logit）就是： 
logit(p)=logp1−p
logit(p)=logp1−p
那么，对逻辑回归而言，Y=1Y=1的对数几率就是： 
logP(Y=1|x)1−P(Y=1|x)=w⋅x
logP(Y=1|x)1−P(Y=1|x)=w⋅x
也就是说，输出Y=1Y=1的对数几率是由输入xx的线性函数表示的模型，这就是 逻辑回归模型。当 w⋅xw⋅x的值越接近正无穷，P(Y=1|x)P(Y=1|x) 概率值也就越接近1.

模型的数学形式确定后，剩下就是如何去求解模型中的参数。在统计学中，常常使用极大似然估计法来求解，即找到一组参数，使得在这组参数下，我们的数据的似然度（概率）最大。

设：
P(Y=1|x)=π(x),P(Y=0|x)=1−π(x)
P(Y=1|x)=π(x),P(Y=0|x)=1−π(x)
似然函数：
L(w)=∏[π(xi)]yi[1−π(xi)]1−yi
L(w)=∏[π(xi)]yi[1−π(xi)]1−yi
对数似然函数:
lnL(w)=∑[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
lnL(w)=∑[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
=∑[yilnπ(xi)1−π(xi)+ln(1−π(xi))]
=∑[yilnπ(xi)1−π(xi)+ln(1−π(xi))]
=∑[yi(w⋅xi)−ln(1+ew⋅xi)]
=∑[yi(w⋅xi)−ln(1+ew⋅xi)]
现在要求 ww 使得L(w)L(w) 最大，有的人可能会有疑问：

在机器学习领域，我们更经常遇到的是损失函数的概念，其衡量的是模型预测错误的程度。常用的损失函数有0-1损失，log损失，hinge损失等。通常是最小化损失函数，这里为啥求极大似然估计？

实际上，对数似然损失在单个数据点上的定义为： 
−ylnp(y|x)−(1−y)ln[1−p(y|x)]=−[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
−ylnp(y|x)−(1−y)ln[1−p(y|x)]=−[yilnπ(xi)+(1−yi)ln(1−π(xi))]
如果取整个数据集上的平均对数似然损失，我们恰好可以得到: 
J(w)=−1NlnL(w)
J(w)=−1NlnL(w)
即在逻辑回归模型中，我们最大化似然函数和最小化对数似然损失函数实际上是等价的。

接下来就是对L(w)L(w)求极大值(也可认为是求J(w)J(w)的最小值)，得到ww的估计值。逻辑回归学习中通常采用的方法是梯度下降法 和 牛顿法。

[先跑个题]，讲到求极值的方法，突然想到有几个可视化的gif图，能够很直观地体现各种算法的优劣，好东西当然要分享了。

Imgur 网友通过可视化方法，对比了SGD, momentum, Nesterov, AdaGrad, AdaDelta, 
RMSProp等优化算法在Long Valley, Beale’s Function及Saddle Point情况下的性质。

Long Valley: 

Beale’s Function:

Saddle Point:

以后会专门写一篇来讲求极值的方法，这是题外话了，我们还是继续回归逻辑吧，哈哈。 
下面介绍使用梯度下降法来求解逻辑回归问题。

使用梯度下降法(Gradient Descent)求解逻辑回归
算法（梯度下降法求解逻辑回归） 
输入：目标函数：J(w)J(w)(对数似然损失函数)，梯度函数： g(w)=∇J(w)g(w)=∇J(w)， 计算精度ϵϵ 
输出：J(w)J(w) 的极小值点 w∗w∗ 
过程： 
(1) 取初始值 w0∈Rnw0∈Rn， 令k=0k=0 
(2) 计算J(wk)J(wk) 
J(wk)=−1NlnL(wk)⇒−lnL(wk)
J(wk)=−1NlnL(wk)⇒−lnL(wk)
=∑[yi(wk⋅xi)−ln(1+ewk⋅xi)]
=∑[yi(wk⋅xi)−ln(1+ewk⋅xi)]
(3) 计算梯度 gk=g(wk)=∇J(w)gk=g(wk)=∇J(w) 
g(wk)=∑[xi⋅yi−xi⋅ewk⋅xi1+ewk⋅xi]
g(wk)=∑[xi⋅yi−xi⋅ewk⋅xi1+ewk⋅xi]
=∑[xi⋅yi−π(xi)]
=∑[xi⋅yi−π(xi)]
若||gk||<ϵ||gk||<ϵ ，停止迭代，令
w∗=wk
w∗=wk
否则，令pk=−g(wk)pk=−g(wk)，求λkλk，使得
J(wk+λkpk)=min(J(wk+λpk))
J(wk+λkpk)=min(J(wk+λpk))
(4) 令wk+1=wk+λkpkwk+1=wk+λkpk，计算 J(wk+1)J(wk+1) 
当||J(wk+1)−J(wk)||<ϵ||J(wk+1)−J(wk)||<ϵ 或 ||wk+1−wk||<ϵ||wk+1−wk||<ϵ，停止迭代，令
w∗=wk+1
w∗=wk+1
(5) 否则，令k=k+1k=k+1，转(3).

逻辑回归的正则化
当模型的参数过多时，很容易遇到过拟合的问题。而正则化是结构风险最小化的一种实现方式，通过在经验风险上加一个正则化项，来惩罚过大的参数来防止过拟合。

正则化是符合奥卡姆剃刀(Occam’s razor)原理的：在所有可能选择的模型中，能够很好地解释已知数据并且十分简单的才是最好的模型。

我们来看一下underfitting，fitting跟overfitting的情况：

显然，最右这张图overfitting了，原因可能是能影响结果的参数太多了。典型的做法在优化目标中加入正则项，通过惩罚过大的参数来防止过拟合： 
J(w)=>J(w)+λ||w||p
J(w)=>J(w)+λ||w||p
p=1或者2，表示L1L1 范数和 L2L2范数，这两者还是有不同效果的。

L1L1范数：是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。那么，参数稀疏 有什么好处呢？

一个关键原因在于它能实现 特征的自动选择。一般来说，大部分特征 xixi和输出 yiyi 之间并没有多大关系。在最小化目标函数的时候考虑到这些额外的特征 xixi，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会干扰了对正确 yiyi 的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。

L2L2范数：它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减”(weight decay)。

它的强大之处就是它能 解决过拟合 问题。我们让 L2L2 范数的规则项 ||w||2||w||2 最小，可以使得 ww 的每个元素都很小，都接近于0，但与 L1L1 范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里还是有很大区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。咦，你为啥说越小的参数表示的模型越简单呢？ 其实我也不知道，我也是猜，可能是因为参数小，对结果的影响就小了吧。

为了更直观看出两者的区别，我再放一张图：

为了简单，上图只考虑了ww为二维(w1,w2)(w1,w2)的情况。彩色等高线是(w1,w2)(w1,w2)；而左边黑色矩形 ||w||1<C||w||1<C 和右边的圆形 ||w||2<C||w||2<C 是约束条件；相交的黑点就是最优解发生的地方。两者的区别可以从图中看出来，L1L1正则化（左图）倾向于使参数变为0，因此能产生稀疏解。而 L2L2 使 ww 接近0；

一句话总结就是：L1L1 会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而 L2L2 会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。

为什么逻辑回归比线性回归要好？
虽然逻辑回归能够用于分类，不过其本质还是线性回归。它仅在线性回归的基础上，在特征到结果的映射中加入了一层sigmoid函数（非线性）映射，即先把特征线性求和，然后使用sigmoid函数来预测。然而，正是这个简单的逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星。

下面我们来谈谈逻辑回归与线性回归的异同点吧。

假设随Tumor Size变化，预测病人的肿瘤是恶性（malignant）还是良性（benign）的情况。给出8个数据如下（阈值为0.5）：

![此处输入图片的描述][10]

图1.a中，粉色线是预测模型，可以看出，模型能够完全把结果预测对了，但是图1.b中蓝色线却预测的很差。

这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。

逻辑回归与最大熵模型MaxEnt的关系?
逻辑回归跟最大熵模型到底有啥区别呢？

简单粗暴 的回答是：逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况，也就是当逻辑回归类别扩展到多类别时，就是最大熵模型。

下面来详细地介绍一下：

在进行下面推导之前，先上几个数学符号定义:

π(x)uπ(x)u 表示，输入时xx, 输出的 y=uy=u的概率;
A(u,v)A(u,v) 是一个指示函数，若u=vu=v，则 A(u,v)=1A(u,v)=1；否则 A(u,v)=0A(u,v)=0
我们的目标，就是从训练数据中，学习得到一个模型，使得 π(x)uπ(x)u 最大化，也就是输入xx，预测结果是 yy 的概率最大，也就是使得 π(x)yπ(x)y 最大；
回顾逻辑回归
标准的逻辑回归是二类模型，有： 
P(Y=1|x)=π(x)1=ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=1|x)=π(x)1=ew⋅x1+ew⋅x
P(Y=0|x)=π(x)0=1−π(x)1
P(Y=0|x)=π(x)0=1−π(x)1
我们用一个更加泛化的形式来表达 π()π()，(只是在这里，k=2)： 
π(x)v=ewv⋅x∑ku=1ewu⋅x
π(x)v=ewv⋅x∑u=1kewu⋅x
回到我们的目标：令π(xi)yiπ(xi)yi 最大，可以用极大似然估计的方法来求解。 
L(w)=∏i=1nπ(xi)yi
L(w)=∏i=1nπ(xi)yi
lnL(w)=∑i=1nln(π(xi)yi)
lnL(w)=∑i=1nln(π(xi)yi)
对lnL(w)lnL(w)求偏导，得到： 
δδwu,jlnL(w)=...=∑i=1,yi=unxij−∑i=1nxijπ(xi)u
δδwu,jlnL(w)=...=∑i=1,yi=unxij−∑i=1nxijπ(xi)u
令偏导等于0，可以得到： 
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1,yi=unxij,(forallu,j)
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1,yi=unxij,(forallu,j)
使用A(u,yi)A(u,yi) 这个函数，我们可以重写等式： 
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
回顾最大熵模型
想要证明逻辑回归跟最大熵模型是等价的，那么，只要能够证明它们的 π()π() 是相同，结论自然就出来了。现在，我们不知道最大熵模型的 π()π()，但是我们知道下面的一些性质： 
π(x)v≥0always
π(x)v≥0always
∑v=1kπ(x)v=1always
∑v=1kπ(x)v=1always
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
∑i=1nxijπ(xi)u=∑i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)
利用信息论的只是，我们可以得到π()π() 的熵，定义如下： 
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
现在，我们有了目标：∑π()∑π() 最大，也有了上面的4个约束条件。求解约束最优化问题，可以通过拉格朗日乘子，将约束最优化问题转换为无约束最优化的对偶问题。我们的拉格朗日式子可以写成如下： 
L=∑j=1m∑v=1kwv,j(∑i=1nπ(xi)vxij−A(v,yi)xij)
L=∑j=1m∑v=1kwv,j(∑i=1nπ(xi)vxij−A(v,yi)xij)
+∑v=1k∑i=1nβi(π(xi)v−1)
+∑v=1k∑i=1nβi(π(xi)v−1)
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
−∑v=1k∑i=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]
对LL求偏导，得到： 
δδπ(xi)uL=wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1
δδπ(xi)uL=wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1
令偏导=0，得到：wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1=0wu⋅xi+βi−log[π(xi)u]−1=0，从而得到： 
π(xi)u=ewu⋅xi+βi−1
π(xi)u=ewu⋅xi+βi−1
因为有约束条件:∑kv=1π(x)v=1∑v=1kπ(x)v=1，所以， 
∑v=1kewv⋅xi+βi−1=1
∑v=1kewv⋅xi+βi−1=1
因此，可以得到
eβ=1/∑v=1kewv⋅xi−1
eβ=1/∑v=1kewv⋅xi−1
把eβeβ 代入π()π()，并且简化一下式子： 
π(x)u=ewu⋅x∑kv=1ewv⋅x
π(x)u=ewu⋅x∑v=1kewv⋅x
有没有发现这就是逻辑回归中，提到的那个泛化的式子，这就证明了逻辑回归是最大熵模型的一个特殊例子（k=2）！

到此，逻辑回归与最大熵模型的关系就解释完毕了，总结一下：

逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况

指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然。

二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然； 
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。

假设分布求解最大熵，引入拉格朗日函数，求偏导数等于0，直接求出的就是sigmoid函数形式。还有很多指数簇分布都有对应的最大似然解。而单个指数簇分布往往表达能力有限，这就需要引入了多个指数簇分布的混合模型，比如高斯混合，从而引出EM算法。

Logistic Regression的理论部分讲的差不多了，下一篇文章将介绍Logistic Regression的并行化 工程问题。敬请期待…

Please feel free to contact me if you have any questions.

参考文献
[1]. 李航，《统计学习方法》 
[2]. John Mount. *"The equivalence of logistic regression and maximum entropy models"*
[3]. http://tech.meituan.com/intro_to_logistic_regression.html
[4]. http://blog.youkuaiyun.com/zouxy09/article/details/24971995
[5]. http://www.tuicool.com/articles/auQFju
--------------------- 
作者：仙道菜 
来源：优快云 
原文：https://blog.youkuaiyun.com/cyh_24/article/details/50359055 
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！