微分方程的来龙去脉

前言

首先很多人疑惑微分方程中特解的问题？什么是特解？在微分方程中特解出现在不同的两个地方，有着两个不同的含义；

        （1）再对于二阶非齐次线性常系数常微分方程中，右边的f(x)有考研要求的两种情况，即两种设置特解的情况，这里的特解指的是我们按照规则直接设置出来的解，里面还含有未知的字母（全可能设置）；

        （2）而还有一种特解值得是“满足特定条件下的解”，即题目告诉你某些条件，比如f(0) = 0等条件，将里面的未知字母全部清除之后，所得到的不含任何未知字母的y = y(x)就是特解。

         说道设置特解的时候，不得不说到他的三个特性：

        （1）设置特解的时候一定是“全可能设置”，不管是关于x的式子P（x）还是在sinx或者cosx的时候，哪怕右边只有一个sinx，那么设置特解的时候，也要全部设置，即要设置出cosx出来，而且P(X)的设置是右边所给f(x)中x次数最高的全可能设置。

        （2）除了上述两个方面的全设置之外，额外再说一个小特点，即考研要求的两种特解的情况可能与与上面的三种特征方程会一起混用，即当特解设置的是关于sinx和cosx的共轭复根的时候，特征方程可能不是共轭复根，这个时候就可以选择不是共轭复根的选项，使得k = 0就好了。

        （3）一般设置特解的时候，设置完特解之后需要带入整个方程之中，以此解出其全可能的设置；而关于特征方程中设置的二阶齐次线性常系数常微分方程的通解中的C1或者C2，这个需要特定的条件之下，比如题目所给的f(0) = 0或者f'(0) = 0带入之后，才能求出C1和C2的值，这个就是满足特定条件之下的特解。

一、一阶常微分方程

        那么有了上述的前提条件之后，我们先来说说一阶微分方程的求解逻辑。

        在一阶常微分方程中，其中y的系数未必是常系数，而是p(x)，包括等号右边的q(x)也是这样的，这是正常的。除了一个普通的线性的y' + p(x)y = q(x)和伯努利方程（右边为q(x)y^n）有公式之外，所有的其他不符合上述的情况，都可以使用分离变量来解决，分离变量常见的有四种，不过其他的需要自己发掘，反正不符合上述有公式，都只能使用分离变量去解决。

        以下是一些常见的手法：

        （1）如果y对x求导不合适的话，可以尝试x对y求导。

        （2）再一阶常微分方程的设置通解的时候，如果遇到积分In|x|这种情况，可以直接将绝对值去掉，其他情况之下不可以。

        （3）两边求导是常见的手段，一般换元之后，就两边求导，然后将原式y'带入求导后的式子之中，达到因变量y——>因变量u的结果，然后两边积分，最后回带就好了。（一般换元都是因变量换元，除了一些特殊情况，下面会讲）

        （4）看到siny,cosy这种可以考虑换元，u= siny这里也是因变量的换元，遇到siny换元一般都是求导公式的逆用。

        （5）需要非常注意求导公式的逆用（考研非常喜欢考！！！）

        （6）说到微分方程的，一定离不开导数和微分之间的关系，需要明确的是，导数只是微分的一部分，只是的系数而已，所以遇到一个求导公式的逆用，看看需不需要两边加上一个dx，然后微分以下，然后两边求导，这样也是不错的选择。

        那么伯努利方程怎么记忆呢？

        伯努利方程是在在一阶常微分方程的基础之上而来的，右边只是q(x)y^n，我们可以设置u  = y^(1-n)，然后就换元成u对x积分，依旧是一般式的模子，只不过y'的系数变成了常数1/(1-n)，其他的p(x)y和q(x)都是一样的。即：1/(1-n)y' + p(x)y = q(x)

二、二阶可降阶微分方程

        有两种情况：

        （1）缺少y，赶尽杀绝y，即跳过y，让y' = p，y'' = p', 然后直接按照一阶的公式解出P之后，然后再回带，变成y'，然后再两边积分就好了。——这个比较简单。一般是一次公式法 + 一次分离变量积分。

        （2）缺少x，斩草除根x，即自变量换元！！！将原先的自变量，换成y即可，这个需要微分讨论，具体情况具体分析。一般使用两次分离变量积分即可。

三、二阶常系数线性常微分方程

        首先，在二阶常微分方程中，我们只研究常系数的情况。即y''和y'和y前面都是常数，右边可以是0，也可以时候f(x)，只不过考研中需要掌握的f(x)只有两种而已，后面会提到。

        这部分主要是公式的记忆。

        值得一提的是通解的设定：有三种情况，有特征方程求出的三种情况，不相同的根，相同的重根，共轭复根，这三种是独立的体系，不相同的根使用用于一个体系，

                         根据上述情况就好了。然后特解设置的原则上面也说了，所以这里就不再赘述。

        怎么记忆欧拉方程呢？

        欧拉方程是在一般的二阶常系数常微分方程的y''前面乘以x^2，然后在 y前面乘以p，本质是自变量的变换，即将自变量x——>t自变量。

        当x>0时 x = e^t，即 t = Inx 

        当x<0时 -x = e^t，即 t = In-x 

        但是最后y对t求导的式子都是一样的，只不过右边f(x)一个换成了f(e^t)一个是f(-e^t)

        式子和一般的y'' + py' + qy = f(x) 区别就在于y'和f(x)换成了一个换成了f(e^t)一个是f(-e^t)

        即：y'' + (p-1)y' + qy = f(e^t或-e^t) （这里是y对t求导）最后记得要回带。

        

除了欧拉公式之外，所有按照公式来的常微分方程最高阶的y'或y''系数都是1才可以使用。