第二章 向量与矩阵

1.向量

向量（vector）一维数值数组。MATLAB 允许你创建列向量和行向量，列向量通过在方括号内把数值用分号（;）隔开来创建，对元素的个数没有限制。

a = [2; 1; 4]

a =

2

1

4

列向量的基本操作通过引用创建时使用的变量名来进行的。如果我们要把一个列向量乘上一一个数，这叫做数量乘法（scalar multiplication）。假设我们要创建一个新向量，它的元素是刚才我们创建的向量 a 的元素的三倍，我们可以先定义一个数量（注意命令行末的分号禁止了输出）：

c = 3;

b = c*a

b =

6

3

12

要创建行向量，我们仍然是把一组数值用方括号括起来，不过这次使用的分隔符是空格（space）或逗号（,）。

v = [2 0 4]

v = 2 0 4

使用转置操作可以进行列向量与行向量之间的相互转换。

a = [2; 1; 4];

y = a’

y = 2 1 4

W = [3,0,3];

X = [2,1,1];

Y = W - X

Y = 1 -1 2

2.从已存变量创建大向量

A = [1; 4; 5];

B = [2; 3; 3];

D = [A;B]

D =

1

4

5

2

3

3

R = [12, 11, 9];

S = [1, 4];

T = [R, S]

T = 12 11 9 1 4

3.创建等差元素向量

有时需要创建带有等差元素的向量，差值为 q 为一个实数。创建一个首元素为 xi，末元

素为 xe的向量 x 的语法如下：x = [xi : q: xe]

x = [0:2:10]

x = 0 2 4 6 8 10

（1）linspace命令

向量含有 a 到 b 之间间隔相等（等差）的n 个元素。linspace(a, b)创建了 a、b 之间含有 100 个等差元素的向量，而 linspace(a, b, n)创建了 a、b 之间含有 n 个等差元素的向量。不管是哪种形式，MATLAB 自动确定元素之间的增量。

logspace(1, 2, 5)

ans = 10.0000 17.7828 31.6228 56.2341 100.0000

4.特征化向量（Characterizing a Vector）

（1）length命令

A = [2;3;3;4;5];

length(A)

ans = 5

（2）max或min命令

max 或 min 命令我们还可以找出向量中数值最大和最小的元素。

A = [8 4 4 1 7 11 2 0];

max(A)

ans = 11

min(A)

ans = 0

（3）向量的数量积（点乘）

J = [0; 3; 4];

J.*J

ans =

0

9

16

（4）共轭复数计算向量的和

u = [i; 1+2i; 4];

sum(u.*u)

ans = 12.0000 + 4.0000i

v = u’

v = 0 - 1.0000i 1.0000 - 2.0000i 4.0000

v = conj(u)

v =

0 - 1.0000i

1.0000 - 2.0000i

4.0000

b = sum(v.*u)

b = 22

magu = sqrt(b)

magu = 4.6904

（5）复数行向量的模

c = sqrt(sum(conj(u).*u))

c = 4.6904

（6）abs命令

A = [-2 0 -1 9]

A = -2 0 -1 9

B = abs(A)

B = 2 0 1 9

5.向量的点乘和叉乘（数量积和向量积）

（1）a、b 两向量的点乘 dot(a, b)命令计算

a = [1;4;7]; b = [2;-1;5];

c = dot(a,b)

c = 33

a = [1;4;7]; b = [2;-1;5];

c = dot(a,b)

c = 33

6.引用向量元素

1.MATLAB 有几种方法用来引用向量的一个或多个元素。

A = [12; 17; -2; 0; 4; 4; 11; 19; 27];

A(2)

ans = 17

A(8)

ans = 19

2.如果使用冒号——如 v(😃——来引用向量，等于告诉 MATLAB 列出向量的所有元素：

A(😃

ans =

12

17

-2

0

4

4

11

19

27

3.用 A(4:6)选出第 4 到第 6 个元素组成一个新的、含有 3 个元素的向量：

v = A(4:6)

v =

0

4

4

7.矩阵基本操作

矩阵是两维数字数组，要在 MATLAB 创建矩阵，输入的行各元素之间用空格或逗号分隔，行末使用分号标记。

A = [-1,6; 7, 11]

A = -1 6

 7  11

A = [5 1; 0 9];

B = [2 -2; 1 1];

A + B

ans = 7 -1

  1 10

A = [-1 2 0; 6 4 1]

A = -1 2 0

 6 4 1

B = A’//转置

B = -1 6

2 4

0 1

C = [1+i, 4-i; 5+2i, 3-3i]

C = 1.0000 + 1.0000i 4.0000 - 1.0000i

5.0000 + 2.0000i 3.0000 - 3.0000i

D = C’//如果矩阵包含有复数元素，那么转置操作会自动计算复数的共轭值：

D = 1.0000 - 1.0000i 5.0000 - 2.0000i

4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i

D = C.‘//如果要转置复数矩阵的而不计算它的共轭值，那么我们使用（.’）：

D = 1.0000 + 1.0000i 5.0000 + 2.0000i

 4.0000 - 1.0000i 3.0000 - 3.0000i

8.矩阵相乘

A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];

A .* B//点乘

ans = 6 4

 5 12

A * B//矩阵相乘

ans =11 14

 13 16

9.更多基本操作

A = [1 2 3 4];

b = 2;

C = b + A//把数量值把数组的每个元素中

C = 3 4 5 6

A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1];

C = A ./ B//数组上进行左除和右除

C =1 2 2 8

B = [2 4; -1 6]

B = 2 4

-1 6

B .^ 2//对每个元素进行平方：

ans =4 16

 1 36

10.特殊类型矩阵

1.单元矩阵是一个对角线为非零元素其它元素为零的方形矩阵。

eye(4)

ans =1 0 0 0

 0 1 0 0

 0 0 1 0

 0 0 0 1

2.要创建 n×n 的零矩阵，我们输入 zeros(n)。

zeros(4)

ans =0 0 0 0

 0 0 0 0

 0 0 0 0

 0 0 0 0

3.要创建整个元素都为 1 的矩阵，ones(n)或ones(m,n)即可分别创建 n×n 和 m×n 的矩阵。

ones(4)

ans =1 1 1 1

 1 1 1 1

 1 1 1 1

 1 1 1 1

11.引用矩阵元素

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

A(2,3)//单个元素用

ans =6

A(:,2)//列引用

ans =

2

5

8

A(:,2:3)//多列引用

ans =2 3

 5 6

 8 9

F = A([1,2,1]😅//多次引用

F = -8 2 3

7 8 9

-8 2 3

12.行列式与线性系统求解

A = [1 3; 4 5];

det(A)//求解行列式的值

ans =-7

5x + 2y - 9z = -18

-9x - 2y + 2z = -7

6x + 7y + 3z = 29

1.列出系数矩阵 A 的行列式

A = [5 2 -9; -9 -2 2; 6 7 3]

A = 5 2 -9

-9 -2 2

6 7 3

2.判断行列式是否不为零，不为零那么解存在。

det(A)

ans = 437

3.MATLAB 允许我们使用左除容易地得到解。

b = [-18;-7;29];

A \ b求解方程组

ans =

1.0000

2.0000

3.0000

13.求矩阵的秩

矩阵的秩描述：

矩阵的秩是矩阵行或列的数值线性独立的度量。如果一个向量线性独立于另外一些向量组，那意味着这一个向量不能写成它们的线性组合。

A = [0 1 0 2; 0 2 0 4];

rank(A)//求解矩阵的秩

ans = 1

A = [1 -2 1; 3 4 5; -2 1 7]; b = [12; 20; 11];

C = [A b]//增广矩阵

C =

1 -2 1 12

3 4 5 20

-2 1 7 11

rank(A)

ans =3

rank©

ans =3

当且仅当 rank(A) = rank(A b)时系统有解。如果秩等于 n，那么系统有唯一解，但如果秩小于 n，那么系统有无数解。如果我们用 r 来表示秩，那么未知量的 r 就可以表示成其它变量的 n-r 的线性组合。

由于秩相同，因此解存在。这里有三个未知量，我们也注意到秩 r 满足 r = n。这意味着解唯一。我们用左除求得解：

x = A \ b

x = 4.3958

-2.2292

3.1458

14.求逆矩阵与伪逆矩阵

逆矩阵描述：

矩阵 A 的逆矩阵用 inv(A) 表示，逆矩阵并不总是存在。事实上我们可以用矩阵的行列式确定逆矩阵是否存在。如果 det(A)= 0，那么逆矩阵不存在，此时我们说此矩阵是一个奇异矩阵。

A = [2 3; 4 5]

A = 2 3

4 5

det(A)//检查矩阵行列式

ans =-2

det(A) ≠ 0，我们可以求得逆矩阵。

inv(A)

ans = -2.5000 1.5000

   2.0000 -1.0000

用系数矩阵的逆矩阵来相乘求得解

如果系数矩阵是方阵，这意味着方程组的方程数与未知数个数相同。如果方程数比未知数个数少，此时方程组称为欠定。这意味着方程组有无限解，因为此时只有一些未知数能够确定下来，不能确定的未知数可以赋予任意值。因此可以得到无限多组解。

x + 2y - z = 3

5y + z = 0

稍微处理可以得到：

z = -5y

x = 3 - 7y

在这个方程组中，我们可以为两个变量找到值（x 和 z），第三个变量 y 是不确定的。我们可以为 y 选择喜欢的值，此时方程组就有解了。

另外一种方程组存在无限解的情况是当 det(A) = 0 时。

解的办法是为未知数给出最小范数实数解，即是说，解向量 x 具有最小范数且元素都为实数。

举例：

3x + 2y - z = 7

4y + z = 2

很明显，这个方程组具无限解。我们输入数据：

A= [3 2 -1; 0 4 1]; b = [7; 2];

C = [A b]

C =

3 2 -1 7

0 4 1 2

现在计算秩：

rank(A)

ans = 2

rank©

ans = 2

由于这些秩相等，解存在。我们可以用 MATLAB 中的左除产生一组解：

x = A \ b

x =

2.0000

0.5000

0

MATLAB 通过把其中一个变量（本例中是 z）设为零产生一组解。如果要尝试用左除产生一组解，通常都是这样做的。当然，这解是有效的，不过记住它只是让 z = 0，而 z 可以是任何值。

我们也可以使用伪逆矩阵来解这个方程组。输入如下内容：

x = pinv(A) * b

x =

1.6667

0.6667

-0.6667

15.简化梯形矩阵

A = [1 2; 4 7]

A = 1 2

4 7

rref(A) 31

ans = 1 0

  0 1

16.矩阵分解

MATLAB 可以快速地对矩阵进行 LU、QR 或 SVD 分解。

MATLAB 中进行 LU 分解及如何使用它来求解线性方程组。

A = [-1 2 0; 4 1 8; 2 7 1];

[L, U] = lu(A)

L =

-0.2500 0.3462 1.0000

1.0000 0 0

0.5000 1.0000 0

U =

4.0000 1.0000 8.0000

0 6.5000 -3.0000

0 0 3.0385

b = [12;-8;6];

x = U(L\b)

x =

-6.9367

2.5316

2.1519