P1226 【模板】快速幂C++

题目描述

给你三个整数 a,b,p,求 abmodp。

输入格式

输入只有一行三个整数,分别代表 a,b,p。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s,其中 a,b,p 分别为题目给定的值, s 为运算结果。

输入输出样例

输入 #1复制

2 10 9

输出 #1复制

2^10 mod 9=7

说明/提示

样例解释

210=1024,1024mod9=7。

数据规模与约定

对于 100% 的数据,保证 0≤a,b<231,a+b>0,2≤p<231。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define l long long
	l a,b,p;
l ef(l n){
	if(n==1)return a;
	l x=(ef(n/2)%p);
	l y=x*x;
	y%=p;
	if(n%2)y*=a;
	y%=p;
	return y;
}

int main(){

	cin>>a>>b>>p;

	cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<ef(b);
	
	return 0;
}

快速幂算法是一种高效的求幂运算方法,尤其适用于指数非常大的情况。它通过将指数分解为二进制形式,并利用平方操作减少乘法次数,从而将时间复杂度降低至 $O(\log n)$。以下是快速幂算法的实现模板,包括递归和非递归两种方式。 ### 非递归实现 非递归版本的快速幂算法通过循环处理指数的二进制位,逐位判断是否需要将当前底数乘入结果。以下是 C++ 的实现代码: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂非递归实现 long long fastPower(long long a, long long b, long long mod) { long long result = 1; // 初始化结果为1 a = a % mod; // 防止a过大,先对mod取模 while (b > 0) { if (b & 1) { // 如果当前位是1 result = (result * a) % mod; } a = (a * a) % mod; // 底数平方 b >>= 1; // 指数右移一位 } return result; } int main() { long long a, b, mod; cin >> a >> b >> mod; cout << a << "^" << b << " mod " << mod << " = " << fastPower(a, b, mod) << endl; return 0; } ``` ### 递归实现 递归版本基于幂的分治策略,将指数 $n$ 分解为较小的子问题进行求解。具体实现如下: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂递归实现 long long fastPowerRecursive(long long a, long long b, long long mod) { if (b == 0) return 1 % mod; // 递归终止条件 long long temp = fastPowerRecursive(a, b / 2, mod); // 递归计算a^(b/2) temp = (temp * temp) % mod; // 平方操作 if (b % 2 == 1) temp = (temp * a) % mod; // 如果指数为奇数,额外乘一次a return temp; } int main() { long long a, b, mod; cin >> a >> b >> mod; cout << a << "^" << b << " mod " << mod << " = " << fastPowerRecursive(a, b, mod) << endl; return 0; } ``` ### 优化版本(蒙哥马利约减) 在某些加密算法(如 RSA)中,模幂运算需要进一步优化,以提升性能。蒙哥马利约减(Montgomery Reduction)可以减少模运算的开销,以下是其简化实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 预计算常数用于优化模运算 constexpr long long computeR(long long mod) { return (1LL << 64) % mod; } // 优化后的模幂运算 long long optimizedModPow(long long a, long long n, long long mod) { long long R = computeR(mod); long long a_bar = (a * R) % mod; long long res_bar = R % mod; while (n) { if (n & 1) res_bar = (res_bar * a_bar) % mod; a_bar = (a_bar * a_bar) % mod; n >>= 1; } return (res_bar * 1) % mod; // 乘以1的逆元 } int main() { long long a, n, mod; cin >> a >> n >> mod; cout << a << "^" << n << " mod " << mod << " = " << optimizedModPow(a, n, mod) << endl; return 0; } ``` ### 应用场景 快速幂算法广泛应用于以下领域: - **加密算法**:如 RSA、Diffie-Hellman 密钥交换等,需要高效计算大数的模幂。 - **竞赛编程**:在需要处理大指数问题时,例如求解 $a^b \mod p$。 - **数学计算**:在涉及指数运算的数学问题中,提高计算效率。
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