数论小集（1）

话说当初我不选择数学竞赛与其他竞赛的原因，就是我以为信息学竞赛有关数学的方面不怎么较难。结果到数论时，我就GG了，所以这次借着复习，巩固数论。

（注：本文以实用和总结为主，大部分定理与公式是没有证明的）

数论小集（基础篇）

1.质数

既然质数的英文名叫做“Prime number”，而Prime又有“基础的”的意思，那么它是很重要的。

判断一个数是不是质数可以用O(sqrt（n）)的复杂度（枚举1~sqrt(n)的数），但是若要求1~n的质数，则可以用欧拉筛以O（n）的算法求出。代码：

void Prime(int n)//
{
	cnt=0;//cnt从零开始 
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)//prime数组从零开始 
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			break;
		}
	}
	return ; 
}

其实还可以用这个来求每个数的最小质因子，稍作修改即可（推荐：BZOJ3233）

void Prime(int num)
{
	cnt=0;
	memset(minn,0,sizeof(minn));
	for(int i=2;i<=num;i++)
	{
		if(!minn[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			minn[i]=i;
		}
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=num;j++)
		{
			minn[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

2.gcd与lcm

gcd是最大公因数，lcm是最小公倍数。

gcd用辗转相除法，复杂度为O（logn）的，而lcm则建立在gcd之上：lcm（a，b）=a/gcd（a，b）*b

代码：

int gcd(int a,int b)//最大公约数 
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)//最小公倍数 
{
	return a/gcd(a,b)*b;//注意：这里应该先除后乘，减少溢出的可能
}

3.模运算基础

有：

（a+b）%mod=（（a%mod）+（b%mod））%mod

（a*b）%mod=（（a%mod）*（b%mod））%mod

（a-b）%mod=（（a%mod）-（b%mod）+mod）%mod

以及快速幂（O（logn））取模：

int pow(int base,int b)//建议使用循环，而不用递归（容易崩栈！血的教训！）
{
    int res=1;
    while(b)
   {
       if(b&1) res=res*base%mod;
       base=base*base%mod;
       b>>=1;
    }
    return res;
}

4.（重点）扩展欧几里得算法

扩展欧几里得能够找出一对（x，y），使得ax+by=gdc(a,b)，并有以下简易结论：

结论1： 若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0),则它的任意整数解都可以写成(x0+kb',y0-ka'),其中a'=a/gcd(a,b),b'=b/gcd(a,b),k取任意整数。 
结论2： g=gcd(a,b),方程ax+by=g的一组解是(x0,y0),则当c是g的倍数时ax+by=c的一组解是(x0*c/g,y0*c/g);否则无解。

它的作用很多，以后应该会讲到，其中最基本的就是他可以解两元一次方程组（利用以上两个结论）。

代码：

void gcd(int a,int b,int g,int &x,int &y)
{
    if(!b) {g=a;x=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,g,y,x);y-=x*(a/b);}
}

5.计数问题

基础的加法原理，乘法原理，以及容斥原理应该都很简单（很多dp都会用）

主要是C（n，m），其实P（n，m）都用得很少。

关于C（n，m）简单的有以下几种算法

void C(int n,int m)
{
	/*1.*/for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][i]=f[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
	 	{
	 		f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];//排列数的递推公式
	 	}
	}//递推式
	/*2.*/f[n][m]=n!/m!(n-m)!//公式，可以预处理阶乘，但由于要用除法，n和m太大后要溢出，
                                 //取模又没有除法运算（但有逆元）,总之就是比较蛋疼的算法
        /*3.*/c[0]=1;利用C(n,k)=(n+1-k)/k*C(n,k-1)
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i;实际意义不明显，但。。。很好玩
}                 

以上就是一部分笔者觉得重要的基础，虽然应用感觉很少，但是接下来大多数都建立在这些之上，至少把代码记住还是很重要的。