8 中国剩余定理

最新推荐文章于 2019-03-04 16:30:00 发布

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本文详细介绍了中国剩余定理的概念及应用，展示了如何求解一元线性同余方程组，提供了具体算法实现代码。

百度百科：

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

中国剩余定理1

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，

方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

中国剩余定理2

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

中国剩余定理3

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

中国剩余定理4

这个就是逆元了

中国剩余定理5

通解形式为

中国剩余定理6

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

中国剩余定理7

代码：

//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
LL china(int n, LL *a, LL *m) {
    LL M = 1, ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        LL w = M / m[i];
        ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
    }
    return (ret + M) % M;
}