CVPR 2024 | 知识蒸馏中的Logit标准化：辅助logit-based KD算法稳定涨点

标题：《Logit Standardization in Knowledge Distillation》
论文：https://arxiv.org/pdf/2403.01427.pdf
代码：https://github.com/sunshangquan/logit-standardization-KD
代码已开源，欢迎star 😃

TL;DR

传统知识蒸馏默认学生/教师网络的温度是全局一致的，这种设置迫使学生模仿教师的logit的具体值，而非其关系，本文提出了 logit 标准化，解决了这个问题。

0. 背景介绍

什么是知识蒸馏？2015年，Hinton[1]注意到深度学习模型变得越来越大，率先想到是否可以利用一个训练好的大模型（俗称Teacher、教师模型），教授一个小模型（俗称Student、学生模型）进行学习。

以常见的分类问题举例，给定一个包含 $N$ 个样本的图像分类数据集 {xn,yn}n=1N，xn\left\{\mathbf{x}_n, y_n\right\}_{n=1}^N ， \mathbf{x}_n{xn​,yn​}n=1N​，xn​ 是其中第 $n$ 个样本图像， $y_n$ 是 ${\mathbf{x}}_n$ 对应的标签（数据集如果有 $K$ 个类，则 $y_n$ 为 1 至 $K$ 之间的一个整数，代表图像属于第 $y_n$ 个类)，学生网络 $f_S$ 和教师网络 $f_T$ 会读取一张输入图像 ${\mathbf{x}}_n$ ，输出各自的logit:
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{z}}_n=f_S\left({\mathbf{x}}_n\right),\\ & {\mathbf{v}}_n=f_T\left({\mathbf{x}}_n\right)\end{array}$$

我们用带有温度 $\mathcal{T}$ 的softmax函数，就可以将logit转换为概率密度的形式:
$$\begin{array}{rl}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}& =\frac{\exp \left({\mathbf{z}}_n^{(k)}/\mathcal{T}\right)}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left({\mathbf{z}}_n^{(m)}/\mathcal{T}\right)},\\ q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}& =\frac{\exp \left({\mathbf{v}}_n^{(k)}/\mathcal{T}\right)}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left({\mathbf{v}}_n^{(m)}/\mathcal{T}\right)},\end{array}$$

其中 $q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}$ 和 $q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}$ 分别是学生和教师预测的概率密度，其满足 ${\sum }_{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}=1$ 和 ${\sum }_{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}=1$ 。

随后，就可以用KL散度将学生的输出和教师的输出进行定量对比，以此作为损失函数对学生网络进行优化:
$${\mathcal{L}}_{\mathrm{KL}}\left(q\left({\mathbf{v}}_n\right)\Vert q\left({\mathbf{z}}_n\right)\right)=\sum _{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}\log \left(\frac{q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}}{q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}}\right),$$

整个过程可以看下面的图1a。

知识蒸馏经典工作解读：https://zhuanlan.zhihu.com/p/102038521

1. 动机

距离Hinton[1]2015年提出知识蒸馏已经过去了9年，温度这个超参数最早就被设定为教师、学生之间共享的，并且是对所有样本都全局不变的，而这样的设置并没有理论支持。

已有工作中，CTKD[2]引入了对抗学习，针对不同难度的样本选择不一样的温度，但是它仍然让学生和教师共享温度；ATKD[3]则是引入一种锐利度指标，针对性地选择学生和教师之间的温度平衡。但是他们均没有讨论学生和教师的温度来自于哪里，也没有理论性地讨论它们是否可以全局不一致、学生教师之间不共享。

因此针对这个问题，文章做出了三个贡献：

1. 文章基于信息论中的熵最大化理论，推导了含有超参数温度的softmax函数表达式。基于推导过程，发现温度并没有明显的约束条件，即没有理论强制学生和教师在全局范围内共享温度（见1.1.1、1.1.2）
2. 文章发现已有的“共享温度”的设置会导致两个问题：

• 学生网络被迫输出和教师网络相当的logit（见1.2）
• KL散度难以真实反映学生的蒸馏效果（见2.3）

3. 文章提出了logit标准化，可作为预处理辅助现有基于logit的知识蒸馏算法。

1.1 超参数-温度的来源

这部分推导了带有超参数温度的softmax函数，如果只想看结论，可直接跳到1.3小节

1.1.1 教师网络的温度

基于 Edwin[5] 1957年提出的最大熵理论 (Maximum-Entropy Principle)，可以证明出分关任务的softmax函数是求解条件摘最大化问题的唯一解形式，也就是说，对于一个训绕好的教师网婉，面对以下两个条件，其概率密度 $q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}$ 应该使得熵处于最大值，两个条件分别为

1. 变量向量 $q$ 需要求和为 1 。也就是说，它满足概率密度的形式
2. 原始logit向量 ${\mathbf{v}}_n$ 的期望为正确的logit项。也就是说，它需要预测正确

其数学表达为以下式子:
$$\begin{array}{c}\underset{q}{\max }{\mathcal{L}}_1=-\sum _{n=1}^N\sum _{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}\log q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}\\ \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}=1,\forall n\\ {\mathbb{E}}_q\left[{\mathbf{v}}_n\right]={\sum }_{k=1}^K{\mathbf{v}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}={\mathbf{v}}_n^{\left(y_n\right)},\forall n.\end{array}\end{array}$$

针对这个求解问题，可以利用拉格朗日乘子法，引入拉格朗日乘子 ${\alpha }_{1,n}$ (条件1) 和 ${\alpha }_{2,n}$ (条件 2)，将条件优化变为单一表达式:
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_T={\mathcal{L}}_1& +\sum _{n=1}^N{\alpha }_{1,n}\left(\sum _{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}-1\right)\\ & +\sum _{n=1}^N{\alpha }_{2,n}\left(\sum _{k=1}^K{\mathbf{v}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}-{\mathbf{v}}_n^{\left(y_n\right)}\right).\end{array}$$

对目标函数求导后取零，即可得到优化问题的解的形式。于是我们对 $q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}$ 求偏导，得到:
$$\frac{\partial {\mathcal{L}}_T}{\partial q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}}=-1-\log q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}+{\alpha }_{1,n}+{\alpha }_{2,n}{\mathbf{v}}_n^{(k)},$$

对其取0，我们得到
$$q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}=\exp \left({\alpha }_{2,n}{\mathbf{v}}_n^{(k)}\right)/Z_T,$$

此处的 $Z_T=\exp \left(1-{\alpha }_{1,n}\right)={\sum }_{m=1}^K\exp \left({\alpha }_{2,n}{\mathbf{v}}_n^{(m)}\right)$ 就变成了我们常见的softmax的分母，公式(7)就变为了我们常见的softmax函数。而 ${\alpha }_{2,n}$ 就是我们常见的温度变量，它的值取1 时，就是分类任务中不带有温度的KL散度函数。

1.1.2 学生网络的温度

与上一小节类似，我们针对蒸馏任务，引入一个新的约束条件：

3. 学生logit向量的期望需要等于教师logit的期望。也就是说，需要学生学习到教师的知识

加入这第三个约束的求解问题的数学表达为：

$$\begin{array}{rl}& \underset{q}{\max }{\mathcal{L}}_2=-\sum _{n=1}^N\sum _{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}\log q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}\\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}=1,\forall n\\ {\sum }_{k=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}={\mathbf{z}}_n^{\left(y_n\right)},\forall n\\ {\sum }_{k=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}={\sum }_{k=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)},\forall n.\end{array}\end{array}$$

类似地引入拉格朗日乘子 ${\beta }_{1,n}$ （条件1）、 ${\beta }_{2,n}$ (条件2）、 ${\beta }_{3,n}$ (条件3)，可以将条件优化变为单一表达式:
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_S={\mathcal{L}}_2& +\sum _{n=1}^N{\beta }_{1,n}\left(\sum _{k=1}^{K}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}-1\right)\\ & +\sum _{n=1}^N{\beta }_{2,n}\left(\sum _{k=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(k)}q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}-{\mathbf{z}}_n^{\left(y_n\right)}\right)\\ & +\sum _{n=1}^N{\beta }_{3,n}\sum _{k=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(k)}\left(q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}-q{\left({\mathbf{v}}_n\right)}^{(k)}\right).\end{array}$$

对 $q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}$ 求偏导，得到:
$$\frac{\partial {\mathcal{L}}_S}{\partial q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}}=-1-\log q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}+{\beta }_{1,n}+{\beta }_{2,n}{\mathbf{z}}_n^{(k)}+{\beta }_{3,n}{\mathbf{z}}_n^{(k)}.$$

对其取 0 ，并且设 ${\beta }_n={\beta }_{2,n}+{\beta }_{3,n}$ ，我们得到
$$q{\left({\mathbf{z}}_n\right)}^{(k)}=\exp \left({\beta }_n{\mathbf{z}}_n^{(k)}\right)/Z_S,$$

其中为了简洁，分母为 $Z_S=\exp \left(1-{\beta }_{1,n}\right)={\sum }_{k=1}^K\exp \left({\beta }_n{\mathbf{z}}_n^{(k)}\right)$ 。公式(11)变为了我们常见的softmax函数。而 ${\beta }_n$ 就是我们常见的温度变量，它与 ${\alpha }_{2,n}$ 取等时，就是蒸馏任务中最常见的学生、教师共享温度的情况。

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讨论：

问题1: 学生和教师之间是否可以取不同的温度？

答: 如果对公式(5)和公式(8)分别对 ${\alpha }_{2,n},{\beta }_{2,n}$ 和 ${\beta }_{3,n}$ 求偏导，则其偏导表达式均会退回到对应的条件约束表达式，表达式恒成立，其结果与这三个变量 ${\alpha }_{2,n},{\beta }_{2,n}$ 和 ${\beta }_{3,n}$ 也因此无关，所以其取值井没有明显的约束形式。如果我们取 ${\alpha }_{2,n}={\beta }_n=1/\mathcal{T}$ ，就是我们常见知识蒸馏中共享温度的情况。

问题2: 蒸馏过程中是否可以对不同样本取不同的温度?

答：与问题 1 类似，其取值井没有明显的约束形式，因此可以针对样本选择温度的取值。

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1.2 共享温度的弊端 $(1/2)$

上一小节讨论了“学生和教师网络是否可以针对样本选择不同的温度”的问题，但是我们还并不知道是否有必要选择不同的温度值，因此本节展示传统知识蒸馏共享温度带来的弊端。

首先我们将之前的softmax表达式统一得到一个一般形式，其表示为:
$$\begin{array}{rl}q{\left({\mathbf{z}}_n;a_S,b_S\right)}^{(k)}=& \frac{\exp \left[\left({\mathbf{z}}_n^{(k)}-a_S\right)/b_S\right]}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left[\left({\mathbf{z}}_n^{(m)}-a_S\right)/b_S\right]},\\ q{\left({\mathbf{v}}_n;a_T,b_T\right)}^{(k)}=& \frac{\exp \left[\left({\mathbf{v}}_n^{(k)}-a_T\right)/b_T\right]}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left[\left({\mathbf{v}}_n^{(m)}-a_T\right)/b_T\right]},\end{array}$$

其中 $a_S、b_S、a_T$ 和 $b_T$ 分别为学生 $(S)$ 和教师 $(T)$ 的softmax表达式中的偏置项 (ai∈{S,T})\left(a_{i \in\{S, T\}}\right)(ai∈{S,T}​)和缩放项（ bi∈{S,T}b_{i \in\{S, T\}}bi∈{S,T}​ ），其中偏置项虽然可以通过分子分母相消，但是其有稳定logit均值的作用 (之后2.2节中提到)。

对于一个蒸馏好的理想学生，我们假设对于给定样本，其损失函数(KL散度)达到最小值。也就是说，这个理想学生可以完美学习教师的概率，那对于任意索引 $k\in [1,K]$ ，都可以得到$
q\left(\mathbf{z}_n ; a_S, b_S\right)^{(k)}=q\left(\mathbf{v}_n ; a_T, b_T\right)^{(k)} $。

那么对于任意一对索引 $i,j\in [1,K]$ ，我们有:
$$\begin{array}{rl}& \frac{\exp \left[\left({\mathbf{z}}_n^{(i)}-a_S\right)/b_S\right]}{\exp \left[\left({\mathbf{z}}_n^{(j)}-a_S\right)/b_S\right]}=\frac{\exp \left[\left({\mathbf{v}}_n^{(i)}-a_T\right)/b_T\right]}{\exp \left[\left({\mathbf{v}}_n^{(j)}-a_T\right)/b_T\right]}\\ \Rightarrow & \left({\mathbf{z}}_n^{(i)}-{\mathbf{z}}_n^{(j)}\right)/b_S=\left({\mathbf{v}}_n^{(i)}-{\mathbf{v}}_n^{(j)}\right)/b_T.\end{array}$$

将上面的式子按 $j$ 从 1 到 $K$ 求和，然后除以 $K$ ，可以得到:
$$\left({\mathbf{z}}_n^{(i)}-{\overline{\mathbf{z}}}_n\right)/b_S=\left({\mathbf{v}}_n^{(i)}-{\overline{\mathbf{v}}}_n\right)/b_T,$$

其中 ${\overline{\mathbf{z}}}_n=\frac{1}{K}{\sum }_{m=1}^K{\mathbf{z}}_n^{(m)}$ 和 ${\overline{\mathbf{v}}}_n=\frac{1}{K}{\sum }_{m=1}^K{\mathbf{v}}_n^{(m)}$ 分别是学生和教师logit的均值。然后我们对公式(14)按 $i$ 从 1 到 $K$ 求和，我们可以得到:
$$\frac{\sigma {\left({\mathbf{z}}_n\right)}^2}{\sigma {\left({\mathbf{v}}_n\right)}^2}=\frac{\frac{1}{K}{\sum }_{i=1}^K{\left({\mathbf{z}}_n^{(i)}-{\overline{\mathbf{z}}}_n\right)}^2}{\frac{1}{K}{\sum }_{i=1}^K{\left({\mathbf{v}}_n^{(i)}-{\overline{\mathbf{v}}}_n\right)}^2}=\frac{b_S^2}{b_T^2},$$

其中， $\sigma$ 是标准差函数。
假设我们设定教师和学生的温度相同，即 $b_S=b_T$ ，那么公式(14)就会变为:
$${\mathbf{z}}_n^{(i)}={\mathbf{v}}_n^{(i)}+{\Delta }_n,\text{ where }{\Delta }_n={\overline{\mathbf{z}}}_n-{\overline{\mathbf{v}}}_n.$$

由此可以看出经典知识蒸馏问题中共享温度的设定，最终会强制学生和教师logit之间存在一个固定的差 ${\Delta }_n$ ，但是考虑到学生网络和教师网络之间的能力差距，学生很难生成与教师 $\mathrm{logit}$ 的均值相当的logit ${}^{[6][7][8]}$ (见图2横轴)。

我们继续考虑教师和学生的温度相同的情况下的标准差，将公式(15)进行简化，可以得到:
$$\frac{\sigma \left({\mathbf{z}}_n\right)}{\sigma \left({\mathbf{v}}_n\right)}=\frac{b_S}{b_T}=1.$$

由此可以看出经典知识蒸馏问题中共享温度的设定，最终也会强制学生和教师输出的logit标准差一致，考虑到其二者的能力差距，学生同样很难生成与教师logit的标准差相当的logit (见图2纵轴）。

图2展示了不同尺寸网络输出的logit均值和标准差，可以看出尺寸较大的网络均值更接近于0，标准差也越小，也就是logit更紧凑。由此规律可以看出，较小的学生网络确实难以输出和较大的教师网络相当的logit范围。

1.3 小节

我们从本节可以得到以下结论：

• 学生、教师网络的温度没有明显的约束条件，不必一定全局共享，可以人为指定
• 在温度共享的情况下，学生、教师网络之间有一个logit范围的强制性匹配
• 基于学生、教师网络的能力差距， 上述强制性匹配很可能限制学生网络的蒸馏效果

---

2. 提出方法：Logit标准化

2.1 算法

为了打破上述的强制性匹配，文章基于公式(14)的形式，提出了logit标准化，即把 $a_S={\overline{\mathbf{z}}}_n$ 、 $a_T={\overline{\mathbf{v}}}_n、b_S=\sigma \left({\mathbf{z}}_n\right)$ 和 $b_T=\sigma \left({\mathbf{v}}_n\right)$ 代入softmax函数:
$$\begin{array}{rl}q{\left({\mathbf{z}}_n;{\overline{\mathbf{z}}}_n,\sigma \left({\mathbf{z}}_n\right)\right)}^{(k)}& =\frac{\exp \left(\mathcal{Z}{\left({\mathbf{z}}_n;\tau \right)}^{(k)}\right)}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left(\mathcal{Z}{\left({\mathbf{z}}_n;\tau \right)}^{(m)}\right)},\\ q{\left({\mathbf{v}}_n;{\overline{\mathbf{v}}}_n,\sigma \left({\mathbf{v}}_n\right)\right)}^{(k)}& =\frac{\exp \left(\mathcal{Z}{\left({\mathbf{v}}_n;\tau \right)}^{(k)}\right)}{{\sum }_{m=1}^K\exp \left(\mathcal{Z}{\left({\mathbf{v}}_n;\tau \right)}^{(m)}\right)},\end{array}$$

其中 $\mathcal{Z}$ 函数就是一种加权 $\mathcal{Z}$-score标准化函数，其表达形式如算法1所示，通过引入一个基础温度 $\tau$ 来控制标准化后的logit值域 (见2.2优势第四条)。而完整的logit标准化知识烝馏算法则如算法2所示。

2.2 优势

这样 $\mathcal{Z}$-score标准化后的logit， $\mathcal{Z}\left({\mathbf{z}}_n;\tau \right)$ ，有至少四个好处（所有证明可见文章补充材料）：

• 均值为零

之前的工作 ${}^{[1][3]}$ 常常有学生/教师logit的均值为 0 的假设，但是如图 2 所示，其几乎是不可能真实实现的，而基于提出的logit标准化函数，logit均值会自动变为 0 。

• 标准差为 $1/\tau$

这个性质也是 $\mathcal{Z}$-score自带的性质，证明简单。这条性质使学生、教师logit被投影到同一范围的类-高斯分布内，而由于其投影过程是多对一的，意味着其反向过程是不确定的，确保了学生的原始logit可以不受“强制性匹配”的副作用影响。

• 单调性

其定义为给定一串索引序列 $t_1,\dots ,t_K\in [1,K]$ ，如果其可以将原始logit进行由小到大的排序，即 ${\mathbf{z}}_n^{\left(t_1\right)}\le \cdots \le {\mathbf{z}}_n^{\left(t_K\right)}$ ，那么其也能够将变换后logiti进行相对应的排序，即 ${\tilde{\mathbf{z}}}_n^{\left(t_1\right)}\le \cdots \le {\tilde{\mathbf{z}}}_n^{\left(t_K\right)}$ 。由于 $\mathcal{Z}$-score属于线性变换函数，这条性质自动满足。这条性质确保了学生能够学习到教师网络logit必要的内在关系。

• 有界性，上下界为 $[-\sqrt{K-1}/\tau ,\sqrt{K-1}/\tau ]$

这条性质需要几步证明，可查询补充材料。这个性质保证了我们可以自己控制softmax函数内logit 的值域范围，能够保证数值计算的稳定性。

2.3 Toy Case：共享温度的慗端 (2/2)

上文中提到共享温度有两个算端，文章此时举例了一个toy case展示其第二个弊端的过程，如图3 所示。

有两个学生网络 $S_1$ 和 $S_2$ ，一起向教师 $T$ 学习。 $S_1$ 的logit范围与 $T$ 相仿，而 $S_2$ 的logit范围远小于 $T$ 的logit，所以 $S_1$ 的损失函数 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{KD}}=0.1749$ 小于 $S_2$ 的损失函数 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{KD}}=0.3457$ 。然而其二者的预测结果却和损失函数的优劣产生了矛盾: $S_1$ 预测的 “Bird” 错误了，而 $S_2$ 预测的
“Dog" 却是正确了。

这一矛盾说明了：在学生、教师共享温度的设定下，KL散度可能无法准确描述学生的蒸馏性能和学习效果！

而如果使用文章提出的logit标准化 (见图3下半部分)，标准化后的 $S_1$ 的logit计算的损失函数 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{KD}}=0.0995$ 大于 $S_2$ 的标准化后的logit计算的损失函数 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{KD}}=0$ ，与其二者预测结果相符，解决了上述问题。

3. 实验结果

3.1 数值结果

在CIFAR-100上的结果如表1、2所示，文章在四个现有的logit知识蒸馏算法上进行了验证，分别为KD[1]、CTKD[2]、DKD[9]和MLKD[10]。

在ImageNet上的结果如表3所示。

3.2 消融实验

针对超参数 $\tau$ 和 ${\lambda }_{\mathrm{KD}}$ ，文章在 τ∈{1,2,4}\tau \in\{1,2,4\}τ∈{1,2,4} 四种情况下做了消融实验，下表表 4 展示了 $\tau =2$的情况，可以看出在 λKD∈{6,9,12,15}\lambda_{\mathrm{KD}} \in\{6,9,12,15\}λKD​∈{6,9,12,15} 的时候，均有不错的效果，当其取 9 的时候效果最佳。

3.3 可视化结果

• logit范围：

从图4第一行中，可以看出经典知识蒸馏算法可以迫使学生产生与教师logit相仿的logit范围，但是其预测的最大logit值没有达到教师的值（12），预测产生了错误。而文章的方法可以使原始logit摆脱“强制性匹配”（见图4b第一行），而其标准化后的logit结果则与教师的几乎完美匹配（见图4c第一行）。

从图4第二行中可以从全局角度得出类似的结论。

• 特征可视化：

图5展示了四种基于logit知识蒸馏的t-SNE特征可视化，可以看出没有logit标准化进行蒸馏的网络输出特征没有很好地散落开，而logit标准化进行蒸馏的网络特征具有更好的可辨别性。

3.4 教师-学生鸿沟问题

学生、教师之间由于能力差距，强的老师可能无法做一个好的老师，文章将这个现象解释为学生难以输出与教师logit相仿范围的logit，而这又是现有知识蒸馏所强制强迫的，因此限制了学生的学习。

图6展示了一组没有经过logit标准化的传统蒸馏和经过logit标准化的蒸馏的logit双变量分布可视化，可以看出传统知识蒸馏仍然无法使学生、教师之间的分布重合（粉色、紫色）；而logit标准化后的logit分布则可以完全重合（深绿色、橙色）。

表5展示了一组不同能力老师的蒸馏效果，可以看出logit标准化普遍地提升了学生的性能，弥补了学生、教师网络之间的学习鸿沟。

参考资料

• [arXiv 2015] Distilling the Knowledge in a Neural Network https://arxiv.org/abs/1503.02531
• [AAAI 2023] Curriculum Temperature for Knowledge Distillation https://arxiv.org/abs/2211.16231
• [OpenReview 2022] Reducing the Teacher-Student Gap via Adaptive Temperatures https://openreview.net/forum?id=h-z_zqT2yJU
• [arXiv 2023] NormKD: Normalized Logits for Knowledge Distillation https://arxiv.org/abs/2308.00520
• [Physical Review 1957] Information Theory and Statistical Mechanics https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.106.620
• [ICCV 2019] On the efficacy of knowledge distillation. https://openaccess.thecvf.com/content_ICCV_2019/papers/Cho_On_the_Efficacy_of_Knowledge_Distillation_ICCV_2019_paper.pdf
• [AAAI 2020] Improved knowledge distillation via teacher assistant https://ojs.aaai.org/index.php/AAAI/article/view/5963/5819
• [ICCV 2021] Densely guided knowledge distillation using multiple teacher assistants https://openaccess.thecvf.com/content/ICCV2021/papers/Son_Densely_Guided_Knowledge_Distillation_Using_Multiple_Teacher_Assistants_ICCV_2021_paper.pdf
• [CVPR 2022] Decoupled Knowledge Distillation https://openaccess.thecvf.com/content/CVPR2022/papers/Zhao_Decoupled_Knowledge_Distillation_CVPR_2022_paper.pdf
• [CVPR 2023] Multi-Level Logit Distillation https://openaccess.thecvf.com/content/CVPR2023/papers/Jin_Multi-Level_Logit_Distillation_CVPR_2023_paper.pdf

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