数据结构课程设计（二）凸包求解

CUGLin

于 2025-01-19 14:34:50 发布

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分类专栏：数据结构课程设计文章标签：数据结构课程设计算法

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2 凸包求解

2.1 需求规格说明

【问题描述】

凸包是一种基础的几何结构，在地理信息科学领域广泛应用。给出一组平面上的点，构造出对应的凸包，并依次输出极点编号。

【输入格式】

第一行即输入点的总数n，接下来n行依次给出各点的横纵坐标，横坐标与纵坐标间用空格分隔，如样例所描述。

【输出格式】

依次输出各个极点的对应编号（编号从1开始，而非0）。

可基于界面编程将凸包可视化。要求算法代码和界面代码分离。

2.2 总体分析与设计

（1）设计思想

①存储结构

在凸包求解的设计中，我采用了以下存储结构：

1.点集（Vector）：使用std::vector<QPointF>来存储输入的点集，其中QPointF是一个包含x和y坐标的结构体，方便表示二维平面上的点。

2.基准点（QPointF）：定义了一个basePoint成员变量，用于存储在Y轴上最低的点，作为后续极角排序的基准。

3.凸包点索引（Vector）：使用std::vector<int>来存储凸包点的索引，方便最终输出凸包点的编号。

4.凸包点集（Vector）：最终构成凸包的点集也使用std::vector<QPointF>存储，包含了构成凸包的所有顶点。

这里使用标准模板库（STL）中的vector可以让我们更方便地使用各种算法和操作，例如排序、查找、遍历等。通过使用引用，我可以直接在原始的场景上进行操作，而不需要复制整个场景，这既提高了效率（特别是对于密集的大量点集情况时而言），也允许多个函数或对象共享和操作同一个场景。

②主要算法思想

算法的主要思想基于Graham扫描算法，该算法分为以下几个步骤：

1.寻找基准点：首先在所有点中找到Y坐标最小的点作为基准点，如果存在多个这样的点，则取X坐标最小的点。

2.极角排序：以基准点为参考，计算其他点相对于基准点的极角（即与正x轴的夹角），并将所有点按照极角从小到大的顺序进行排序。如果极角相同，则按照距离基准点的距离进行排序。

3.构建凸包：使用一个栈来维护凸包的顶点。遍历排序后的点集，对于每个点，使用叉积来判断其与栈中最后两个点构成的向量是否为逆时针方向。如果是，则该点在凸包上，将其添加到栈中；如果不是，则栈中的最后一个点不再是凸包的一部分，从栈中移除，直到满足逆时针条件。

4.处理共线情况：在处理过程中，如果三个点共线，则忽略中间的点，只保留首尾两点。

5.输出结果：最终，栈中剩余的点即为凸包的顶点，按照索引输出这些点的编号。

通过这种设计，我们能够有效地求解凸包问题，并且算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是点集中点的数量。这种算法在处理大规模数据时具有较好的性能。

（2）设计表示

实现凸包求解的程序UML类图如图2.2-1所示。

图2.2-1 程序UML类图

1.初始化：Graham类的构造函数初始化基准点basePoint。

2.距离和叉积计算：distanceSquared和crossProduct方法分别用于计算两点间的距离平方和叉积。

3.排序：compareY和comparePolar方法用于实现点的排序逻辑。

4.凸包计算：computeConvexHull方法是计算凸包的核心，它通过栈操作来确定最终的凸包顶点。

5.结果展示：showHullIndices方法用于展示凸包点的索引，以便于验证和展示算法结果。

（3）详细设计表示

程序的UML类图如图2.2-2所示

图2.2-1 凸包求解程序流程图

该程序的流程步骤如下所示：

1.输入处理：程序首先接收一组平面上的点作为输入，这些点的横纵坐标通过标准输入给出。

2.基准点确定：通过compareY函数，我们找到Y坐标最小的点作为基准点。

3.极角排序：所有点相对于基准点进行极角排序，使用comparePolar函数实现。

4.栈操作：通过栈来维护凸包的顶点，利用叉积来判断点的添加或移除。

5.输出结果：最终，凸包的顶点被输出，这些顶点即为所求的凸包。

2.3 编码

【问题1】：随机生成点时，如有重复点或共线问题会造成凸包向内凹陷或计算失败

【解决方式】：在随机生成点时，需要进行判断，查看新生成的点是否与之前的点重复。一旦发现重复点，则立即重新随机生成，直到没有重复点为止。这样可以确保生成的点不会造成凸包向内凹陷的情况。

【问题2】：极角相同的情况下如何对两个点的顺序进行排序？

【解决方式】：在极角度相同的情况下，我们需要对两个点的顺序进行排序。一种方法是，如果近的点序号在前，那么远的点方向一定会使得近的点形成凹形，因此需要将近处的点作为内部点踢走。而如果远的点序号在前，那么一系列点会出现共线的情况。如果让程序选择保留共线的点（也就是可能凸包的一条边上有多个点，这些点都进行保留而不是提出），则也可以形成凸包。但在第一个与最后一个枚举点时会有比较麻烦的问题。因此，一般选择近的点在前，若出现共线的线段，则踢出，这样确保选出所有凸包的顶点。虽然本题中是需要输出凸包边上的所有点的，那么我们可以考虑先利用凸包处理出所有的拐点，然后按照极角枚举，将刚好处于凸包边上共线点也一起加入。

2.4 程序及算法分析

①使用说明

打开程序后，即可出现作者预设的坐标轴样式，如图2.4-1所示。

图2.4-1 初始化程序

接下来，点击左上角最左侧“开始编辑”按钮即可直接在GraphicsView中使用鼠标左键点击生成点，并且点击的每个点都会被记录下其坐标信息显示到左侧数据表格中，同时点击的每个点都会按序编号，如图2.4-2所示。

图2.4-2 编辑界面

接下来，点击相应的第二个按钮“结束编辑”，即可停止编辑，此时由于写入了mouseMoveEvent鼠标移动事件，故鼠标的同步移动同时也会显示到相应的状态栏中被读取到。而当点击第三个按钮“生成凸包”时即会启用凸包算法生成凸包，同时会以MessageBox的形式弹窗告知凸包信息，如图2.4-3所示。

图2.4-3 生成凸包样式

点击【OK】后同步生成的凸包结果即会可视化界面中，如图2.4-4所示。

图2.4-4 凸包生成结果

同样，这里还可以接续点击“开始编辑”添加点，如图2.4-5所示。

图2.4-5 继续添加点

接下来，点击“结束编辑”，并点击“生成凸包”，此时程序会将添加后的点和此前的点一并进行凸包的运算，并输出生成结果，同时将输出结果可视化展示到界面中，如图2.4-6所示。

图2.4-6 生成新的凸包结果

2.5 小结

程序在获取数据点时，可以通过读取文件或利用随机函数来生成随机点，从而满足多种变换的凸包问题，也展现了该算法的稳定性和通用性，同时也为后续的TIN构建使用凸包提供了极大的便利。为了完成极角排序，本程序具体实现依赖于简单冒泡排序算法。此算法不仅能提高了排序效率，且编写也较为简洁易懂。通过这种方式，程序能迅速确定数据点的位置和方向，从而精确构建凸包。但是排序算法仍可以继续优化，采用更稳定、时间复杂度更低的排序算法。在处理凸包边的计算时，程序利用了栈的特性来存储构成凸包的边顶点。实现进栈、退栈，以及对栈顶元素的操作存储凸包顶点。

为增强可视化和用户体验，程序在屏幕显示时添加了坐标系的横纵坐标轴。这不仅有助于观察数据点的分布，还能提高数据的可视化效果。本程序还支持重复打开文件和多次生成凸包，使得用户可以更加灵活地处理数据。主窗口的自动缩放功能，自动延展坐标轴，使用户体验更舒适。在程序的后续改进中，应注意保持命名规范，确保代码的清晰度和可维护性。

2.6 附录

//求解凸包算法
Graham::Graham() {}

double Graham::distanceSquared(const QPointF& a, const QPointF& b) {
    return (a.x() - b.x()) * (a.x() - b.x()) + (a.y() - b.y()) * (a.y() - b.y());
}
double Graham::crossProduct(const QPointF& O, const QPointF& A, const QPointF& B) {
    return (A.x() - O.x()) * (B.y() - O.y()) - (A.y() - O.y()) * (B.x() - O.x());
}
bool Graham::compareY(const QPointF& a, const QPointF& b) {
    return (a.y() > b.y()) || (a.y() == b.y() && a.x() < b.x());
}
bool Graham::comparePolar(const QPointF& a, const QPointF& b) {
    double cp = crossProduct(basePoint, a, b);
    if (cp == 0) { // 共线时按距离排序
        return distanceSquared(basePoint, a) < distanceSquared(basePoint, b);
    }
    return cp > 0; // 极角从小到大排序
}
void Graham::showHullIndices(const vector<int>& indices) {
    QString indicesStr;
    for (int index : indices) {
        indicesStr += QString::number(index+1) + " ";
    }
    QMessageBox::information(nullptr, "Convex Hull Indices", "Indices of Convex Hull Points: \n" + indicesStr);
}
vector<QPointF> Graham::computeConvexHull(vector<QPointF>& points) {
    int n = points.size();
    if (n <= 2) return points;
    // 第一步：找到基准点
    basePoint = *min_element(points.begin(), points.end(), compareY);
    // 第二步：按极角排序
    sort(points.begin(), points.end(), [this](const QPointF& a, const QPointF& b) {
        return comparePolar(a, b);
        });
    // 第三步：使用栈计算凸包
    vector<QPointF> hull;
    vector<int> hullIndices; // 保存凸包点的索引
    for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i) {
        const auto& point = points[i];
        while (hull.size() >= 2 &&
            crossProduct(hull[hull.size() - 2], hull[hull.size() - 1], point) <= 0) {
            hull.pop_back(); // 移除不合法的点
            hullIndices.pop_back();
        }
        hull.push_back(point); // 添加当前点到凸包
        hullIndices.push_back(static_cast<int>(i));
    }
    // 显示凸包点的序号
    showHullIndices(hullIndices);
    return hull;
}

项目源代码：

Data-structure-coursework/2 at main · CUGLin/Data-structure-courseworkhttps://github.com/CUGLin/Data-structure-coursework/tree/main/2