求算术平方根的实现方法

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#math #算法 #leetcode

于 2018-04-26 10:37:22 首次发布

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一个比较适合warm up的问题

二分法实现

sqrt的实现有两种思路，第一种是使用二分法，类似心算，即取输入的一半，若平方后大于输入，则再取一半，若平方小于输入，则取上次和当前估计的平均，如此逼近，但是要注意0-1区间，需改变求值与左右界的更新方式。

epsilon = 1e-9
def sqrt_Bisection(y):
    if y < 0.0:
        raise ValueError("input is not non-negative")
    if y == 0.0 or y == 1.0:
        return y
    if y < 1:
        left = y
        right = 2 * y
        mid = (left + right) / 2
        res = mid ** 2 - y
        while abs(res) > epsilon:
            if res < 0:
                left = mid
                right = 2 * mid
            elif res > 0:
                right = mid
            mid = (left + right) / 2
            res = mid ** 2 - y
        return mid
    if y > 1:
        left = 0
        right = y
        mid = (left + right) / 2
        res = mid ** 2 - y
        while abs(res) > epsilon:
            if res < 0:
                left = mid
            elif res > 0:
                right = mid
            mid = (left + right) / 2
            res = mid ** 2 - y
        return mid

数值优化思路

这可视为最优估计问题，
$y = f (P)$
求给定观测y下参数P的最优估计，
$f(P)=P^2$
此问题，高斯牛顿法与梯度下降法得出同样的形式，
$\epsilon=f(P)-y \\ \Delta = -J^{-1}\epsilon \\ J = 2P \\ P = P+\Delta$

epsilon = 1e-9
def sqrt_Gradient(y):
    if y < 0:
        raise ValueError("input is not non-negative")
    if y == 0.0 or y == 1.0:
        return y
    x = y / 2
    # $$/delta = -inv(J)/epsilon$$
    delta = (y - x ** 2) / (2 * x)
    while abs(y - x ** 2) > epsilon:
        x += delta
        delta = -(x ** 2 - y) / (2 * x)
    return x