菜鸟玩算法·数据结构与算法·第2期·复杂度大O表示法

最新推荐文章于 2025-07-31 10:11:52 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-31 10:11:52 发布 · 265 阅读

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本文深入探讨了大O表示法的概念及其性质，通过具体函数举例说明如何应用大O表示法来评估算法的时间复杂度。同时，文章也提到了特殊情况下的表示方法——O(OO)，并解释了其适用场景。

概念

如果存在正数n和N，当 $n>N$ 时，有 $f(n) \leq mg(n)$ ，则 $f(n) = O(g(n))$ 。该描述方法主要是上篇提到的渐进复杂度的表示方法，是1894年Paul Bachmann提出的。

下面来看一个函数举例说明： $f(x) = 3x^3+3x+1$ ，对应的表示 $f(x)$ = $O(x^3)$ 。我们反推一下公式，看是否成立：

$3x^3+3x+1 \leq mx^3$

$3+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3} \leq m$

当 $x>N$ 时，满足上述公式，所以 $f(x)$ 的为 $O(x^3)$ 大O表示。

性质

（1）如果 $f(n) = O(h(n)), g(n) = O(h(n)) \rightarrow f(n) + g(n) = O(h(n))$

（2）传递性， $f(n) = O(g(n)), g(n) = O(h(n)) \rightarrow f(n) = O(h(n))$

（3）特殊的对数函数，任意的a和b（b不等于1）， $log_{a}n = O(log_{b}n)$

（即：对数函数都满足同样的增长特性）

（4）对于幂函数，任何正数m， $n^k = O(n^{k+m})$

说明：

对于大O表示也是存在特殊情况的，例如 $f(x)=10^8x$ 和 $g(x)=x^2$ ，它们对应的表示分别为 $O(x)$ 和 $O(x^2)$ ，如果根据大O表示法来看， $O(x^2)$ 的计算复杂度是比 $O(x)$ 大的。但是根据函数来看这是不严谨的定论，当 $x\geq 10^8$ 时， $O(x^2)$ 的计算复杂度是比 $O(x)$ 大的。但是，我们在程序中可能很难处理这么多的数据，所以针对这种常数太大没有实际意义情况Udi Manber提出使用O(OO)符号对这类函数表示。

O(OO)的表示法： $f(n)=OO(g(n))$ ，其中 $f(x)=10^8x$ 就是这种情况 $f(x)=OO(x)$ 。常数太大没有实际意义，还有根据具体情况来看。

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